PQStat - Baza Wiedzy

ANOVA Friedmana

Analiza wariancji powtarzanych pomiarów dla rang Friedmana, czyli ANOVA Friedmana (ang. Friedman repeated measures analysis of variance by ranks) opisana została przez Friedmana (1937)¹⁾. Test ten stosuje się w sytuacji, gdy pomiarów badanej zmiennej dokonujemy kilkukrotnie ( $k\geq2$ ) w różnych warunkach. Stosowana jest również, gdy dysponujemy rankingami pochodzącymi z różnych źródeł (od różnych sędziów) i dotyczącymi kilku ( $k\geq2$ ) obiektów a zależy nam na ocenie zgodności tych rankingów.

Iman Davenport (1980²⁾) pokazał, że w wielu przypadkach statystka Friedmana jest nadmiernie konserwatywna i dokonał pewnej jej modyfikacji. Modyfikacja ta jest nieparametrycznym odpowiednikiem ANOVA powtarzanych pomiarów co sprawia, że jest obecnie rekomendowana do stosowania w zastępstwie tradycyjnej statystyki Friedmana.

Dodatkowe analizy:

możliwe jest uwzględnienie braków danych poprzez opcje Akceptuj braki danych, wyliczając ANOVA Durbina lub ANOVA Skillings-Mack;
możliwe jest testowanie trendu w ułożeniu badanych grup poprzez wykonanie testu Page dla trendu.

Podstawowe warunki stosowania:

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej,
model zależny.

Hipotezy dotyczą równości sumy rang dla kolejnych pomiarów lub są upraszczane do median:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta_1=\theta_2=...=\theta_k,\\ \mathcal{H}_1: & $nie wszystkie $\theta_j$ są sobie równe $(j=1,2,...,k)$$, \end{array}$

gdzie:

$\theta_1,\theta_2,...\theta_k$ mediany badanej cechy w kolejnych pomiarach z badanej populacji.

Wyznacza się dwie statystyki testowe: statystykę Friedmana i modyfikację Imana-Davenport tej statystyki.

Statystyka Friedmana ma postać:

$\begin{displaymath} T_1=\frac{1}{C}\left(\frac{12}{nk(k+1)}\left(\sum_{j=1}^k\left(\sum_{i=1}^n R_{ij}\right)^2\right)-3n(k+1)\right), \end{displaymath}$

gdzie:

$n$ $-$ liczność próby,

$R_{ij}$ $-$ rangi przypisane kolejnym pomiarom $(j=1,2,...k)$ , oddzielnie dla każdego z badanych obiektów $(i=1,2,...n)$ ,

$\displaystyle C=1-\frac{\sum(t^3-t)}{n(k^3-k)}$ $-$ korekta na rangi wiązane,

$t$ $-$ liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej.

Modyfikacjia Imana-Davenport statystyki Friedmana ma postać:

$\begin{displaymath} T_2=\frac{(n_j-1)T_1}{n_j(k-1)-T_1} \end{displaymath}$

Wzór na statystykę $T_1$ i $T_2$ zawiera poprawkę na rangi wiązane $C$ . Poprawka ta jest stosowana, gdy rangi wiązane występują (gdy nie ma rang wiązanych poprawka ta nie jest wyliczana, gdyż wówczas $C=1$ ).

Statystyka $T_1$ ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład chi-kwadrat z $df=k - 1$ stopniami swobody.

Statystyka $T_2$ podlega rozkładowi F Snedecora z $df_1=k-1$ i $df_2=(n_j-1)(k-1)$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$ :

$\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}$

Testy POST-HOC

Wprowadzenie do kontrastów i testów POST-HOC przeprowadzone zostało w rozdziale dotyczącym jednoczynnikowej analizy wariancji.

Test Dunna

Stosowany dla porównań prostych (liczność w poszczególnych pomiarach zawsze jest taka sama).

Test Dunna (Dunn 1964³⁾) jest testem korygowanym ze względu na wielokrotne testowanie. Najczęściej wykorzystuje się tu korektę Bonferroniego lub Sidaka, chociaż dostępne są również inne, nowsze korekty opisane szerzej w dziale Wielokrotne porównania.

Przykład - porównania proste (porównanie pomiędzy sobą 2 wybranych median / średnich rang):

$\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \theta_j=\theta_{j+1},\\ \mathcal{H}_1: & \theta_j \neq \theta_{j+1}. \end{array}$

$\mathfrak{(i)}$ Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

$\begin{displaymath} NIR=Z_{\alpha(corrected)}\sqrt{\frac{k(k+1)}{6n}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$\displaystyle Z_{\alpha(corrected)}$ - to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu normalnego dla poziomu istotności $\alpha$ skorygowanego o liczbę możliwych porównań prostych $c$ zgodnie z wybraną poprawką.

$\mathfrak{(ii)}$ Statystyka testowa ma postać:

$\begin{displaymath} Z=\frac{\sum_{j=1}^k c_j\overline{R}_j}{\sqrt{\frac{k(k+1)}{6n}}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$\overline{R}_j$ $-$ średnia rang $j$ -tego pomiaru, dla $(j=1,2,...k)$ ,

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności próby) rozkład normalny, a wartość p jest korygowana o liczbę możliwych porównań prostych zgodnie z wybraną poprawką.

Test Conover-Inman

Nieparametryczny odpowiednik LSD Fishera⁴⁾, stosowany dla porównań prostych (liczność w poszczególnych pomiarach zawsze jest taka sama).

$\mathfrak{(i)}$ Wartość najmniejszej istotnej różnicy wyliczana jest z wzoru:

$\begin{displaymath} NIR=\sqrt{F_{\alpha,1,df_2}}\cdot\sqrt{\frac{2\left(n_jA-\sum_{j=1}^tR_j^k\right)}{(n_j-1)(k-1)}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n_j}\sum_{j=1}^kR_{ij}^2$ $-$ suma kwadratów dla rang,

$\displaystyle F_{\alpha,1,df_2}$ to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu F Snedecora dla zadanego poziomu istotności $\alpha$ oraz dla stopni swobody odpowiednio: 1 i $df_2$ .

$\mathfrak{(ii)}$ Statystyka testowa ma postać:

$\begin{displaymath} t=\frac{\sum_{j=1}^k c_jR_j}{\sqrt{\frac{2\left(n_jA-\sum_{j=1}^tR_j^k\right)}{(n_j-1)(k-1)}}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$R_j$ - suma rang $j$ -tego pomiaru, dla $(j=1,2,...k)$ ,

Statystyka ta podlega rozkładowi t-Studenta z $df_2$ stopniami swobody.

Okno z ustawieniami opcji ANOVA Friedmana wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→ANOVA Friedmana (możliwość braków danych) lub poprzez Kreator.

Przykład (plik baton.pqs)

Badano kwartalną wielkość sprzedaży pewnego batonu czekoladowego w 14 losowo wybranych marketach. Badanie rozpoczęto w styczniu a zakończono w grudniu. W czasie drugiego kwartału trwała intensywna billboardowa kampania reklamowa tego produktu. Sprawdzimy, czy kampania miała wpływ na wielkość sprzedaży reklamowanego batonu.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline sklep&Kwartał I&Kwartał II&Kwartał III&Kwartał IV\\\hline SK1&3415&4556&5772&5432\\ SK2&1593&1937&2242&2794\\ SK3&1976&2056&2240&2085\\ SK4&1526&1594&1644&1705\\ SK5&1538&1634&1866&1769\\ SK6&983&1086&1135&1177\\ SK7&1050&1209&1245&977\\ SK8&1861&2087&2054&2018\\ SK9&1714&2415&2361&2424\\ SK10&1320&1621&1624&1551\\ SK11&1276&1377&1522&1412\\ SK12&1263&1279&1350&1490\\ SK13&1271&1417&1583&1513\\ SK14&1436&1310&1357&1468\\\hline \end{tabular}$

Hipotezy:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $brak jest istotnej różnicy pomiędzy wielkością sprzedaży dla porównywanych $\\ & $kwartałów w populacji reprezentowanej przez zebraną próbę, $\\ \mathcal{H}_1: & $różnica w sprzedaży dla populacji reprezentowanej przez zebraną próbę $\\ & $pomiędzy przynajmniej dwoma kwartałami jest istotna.$ \end{array}$

Porównując wartość p testu Friedmana (jak i wartość p korekty Iman-Davenport testu Friedmana) z poziomem istotności $\alpha=0.05$ , stwierdzamy, że sprzedaż batonu nie jest taka sama w każdym kwartale. Wykonana analiza POST-HOC Dunna z korektą Bonferroniego wskazuje na różnice wielkości sprzedaży dotyczące kwartału I i III oraz I i IV, a analogiczna analiza przeprowadzona silniejszym testem Conover-Iman wskazuje na różnice pomiędzy wszystkimi kwartałami za wyjątkiem kwartału III i IV.

Na wykresie przedstawiliśmy grupy jednorodne wyznaczone testem Conover-Iman.

Dokładny opis danych możemy przedstawić wybierając w oknie analizy statystyki opisowe .

Gdyby dane były opisane skalą porzadkową o niewielu kategoriach, warto by było przedstawić je rownież w licznościach i procentach. W naszym przykładzie nie byłaby to dobra metoda opisu.

¹⁾

Friedman M. (1937), The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance. Journal of the American Statistical Association, 32,675-701

²⁾

Iman R. L., Davenport J. M. (1980), Approximations of the critical region of the friedman statistic, Communications in Statistics 9, 571–595

³⁾

Dunn O. J. (1964), Multiple comparisons using rank sums. Technometrics, 6: 241–252

⁴⁾

Conover W. J. (1999), Practical nonparametric statistics (3rd ed). John Wiley and Sons, New York

PQStat - Baza Wiedzy

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Pasek boczny

ANOVA Friedmana

Narzędzia strony