pqstat.pl

Narzędzia użytkownika

Test t-Studenta dla grup niezależnych

Test $t$-Studenta dla grup niezależnych (ang. t test for independent groups) służy do weryfikacji hipotezy o równości średnich badanej zmiennej w dwóch populacjach.

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:

\begin{array}{cc}
\mathcal{H}_0: & \mu_1=\mu_2,\\
\mathcal{H}_1: & \mu_1\ne\mu_2.
\end{array}

gdzie:

$\mu_1$, $\mu_2$ $-$ średnie badanej zmiennej w pierwszej i drugiej populacji.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath}
t=\frac{\displaystyle{\overline{x}_1-\overline{x}_2}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}},
\end{displaymath}

gdzie:

$\overline{x}_1, \overline{x}_2 $ $-$ średnie w pierwszej i drugiej próbie,

$n_1, n_2 $ $-$ liczności w pierwszej i drugiej próbie,

$sd_1^2, sd_2^2 $ $-$ wariancje w pierwszej i drugiej próbie.

Statystyka testowa ma rozkład t-Studenta z $df=n_1+n_2-2$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl}
$ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ 	\mathcal{H}_1, \\
$ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\
\end{array}

Uwaga!

  • wspólne odchylenie standardowe wyraża się wzorem:

\begin{displaymath}
SD_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}},
\end{displaymath}

  • błąd standardowy różnicy średnich wyraża się wzorem:

\begin{displaymath}
SE_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}=\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}.
\end{displaymath}

Okno z ustawieniami opcji testu t-Studenta dla grup niezależnych wywołujemy poprzez menu StatystykaTesty parametrycznet-Student dla grup niezależnych lub poprzez ''Kreator''.

Gdy w oknie testu w opcji dotyczącej wariancji wybierzemy:

  • równe, wówczas zostanie wyliczony test $t$-Studenta dla grup niezależnych,
  • różne, wówczas zostanie wyliczony test $t$-Studenta z korektą Cochrana-Coxa,
  • sprawdź równość, wówczas zostanie wyliczony test Fishera-Snedecora a na podstawie jego wyniku i ustawionego poziomu istotności zostanie wybrany i wyliczony test t-Studenta dla grup niezależnych z bądź bez poprawki Cochrana-Coxa.

Uwaga!

Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych tzn. średnich arytmetycznych, odchyleniach standardowych i liczności prób.

Przykład (plik wiek.pqs)

W pewnym doświadczeniu bierze udział 100 osób wybranych w sposób losowy z populacji pracowników 2 różnych firm przewozowych. Z każdej firmy do próby wybrano 50 osób. Przed przystąpieniem do eksperymentu należy sprawdzić czy średni wiek pracowników obu tych firm jest podobny, od tego bowiem zależeć będzie kolejny etap eksperymentu. Wiek każdego uczestnika eksperymentu zapisano w latach.

Wiek (przewoźnik 1): 27, 33, 25, 32, 34, 38, 31, 34, 20, 30, 30, 27, 34, 32, 33, 25, 40, 35, 29, 20, 18, 28, 26, 22, 24, 24, 25, 28, 32, 32, 33, 32, 34, 27, 34, 27, 35, 28, 35, 34, 28, 29, 38, 26, 36, 31, 25, 35, 41, 37

Wiek (przewoźnik 2): 38, 34, 33, 27, 36, 20, 37, 40, 27, 26, 40, 44, 36, 32, 26, 34, 27, 31, 36, 36, 25, 40, 27, 30, 36, 29, 32, 41, 49, 24, 36, 38, 18, 33, 30, 28, 27, 26, 42, 34, 24, 32, 36, 30, 37, 34, 33, 30, 44, 29}

Rozkład wieku w obu grupach jest rozkładem normalnym (zostało to sprawdzone testem Lillieforsa) o średniej $\overline{x}_1=30.26$ i odchyleniu standardowym $sd_1=5.23$ dla grupy 1 oraz $\overline{x}_2=32.68$ i $sd_2=6.36$ dla grupy 2. Test Fishera-Snedecora wskazuje również, że równe są wariancje wieku w obu firmach przewozowych ($p=0.176168$). Są zatem spełnione wszystkie warunki stawiane testowi t-Studenta dla grup niezależnych.

Hipotezy:


$
\begin{array}{cl}
\mathcal{H}_0: & $średnia wieku pracowników 1 firmy przewozowej jest równa$\\
&$średniej wieku pracowników 2 firmy przewozowej,$\\
\mathcal{H}_1: & $średnia wieku pracowników 1 firmy przewozowej jest różna$ \\
&$od średniej wieku pracowników 2 firmy przewozowej.$
\end{array}
$

Porównując wartość $p=0.040314$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że średni wiek pracowników tych 2 firm przewozowych jest różny. Pracownicy 1 firmy są młodsi średnio o nieco ponad 2 lata od pracowników 2 firmy.


Narzędzia strony