Test t-Studenta dla grup niezależnych

Test $t$-Studenta dla grup niezależnych (ang. t test for independent groups) służy do weryfikacji hipotezy o równości średnich badanej zmiennej w dwóch populacjach.

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:

\begin{array}{cc}
\mathcal{H}_0: & \mu_1=\mu_2,\\
\mathcal{H}_1: & \mu_1\ne\mu_2.
\end{array}

gdzie:

$\mu_1$, $\mu_2$ $-$ średnie badanej zmiennej w pierwszej i drugiej populacji.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath}
t=\frac{\displaystyle{\overline{x}_1-\overline{x}_2}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}},
\end{displaymath}

gdzie:

$\overline{x}_1, \overline{x}_2 $ $-$ średnie w pierwszej i drugiej próbie,

$n_1, n_2 $ $-$ liczności w pierwszej i drugiej próbie,

$sd_1^2, sd_2^2 $ $-$ wariancje w pierwszej i drugiej próbie.

Statystyka testowa ma rozkład t-Studenta z $df=n_1+n_2-2$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$ :

\begin{array}{ccl}
$ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ 	\mathcal{H}_1, \\
$ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\
\end{array}

Uwaga!

  • wspólne odchylenie standardowe wyraża się wzorem:

\begin{displaymath}
SD_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}},
\end{displaymath}

  • błąd standardowy różnicy średnich wyraża się wzorem:

\begin{displaymath}
SE_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}=\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}.
\end{displaymath}

Okno z ustawieniami opcji testu t-Studenta dla grup niezależnych wywołujemy poprzez menu StatystykaTesty parametrycznet-Student dla grup niezależnych lub poprzez ''Kreator''.

Gdy w oknie testu w opcji dotyczącej wariancji wybierzemy:

  • równe, wówczas zostanie wyliczony test $t$-Studenta dla grup niezależnych,
  • różne, wówczas zostanie wyliczony test $t$-Studenta z korektą Cochrana-Coxa,
  • sprawdź równość, wówczas zostanie wyliczony test Fishera-Snedecora a na podstawie jego wyniku i ustawionego poziomu istotności zostanie wybrany i wyliczony test t-Studenta dla grup niezależnych z bądź bez poprawki Cochrana-Coxa.

Uwaga!

Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych tzn. średnich arytmetycznych, odchyleniach standardowych i liczności prób.

Przykład (plik choloesterol.pqs)

Z populacji kobiet i z populacji mężczyzn w wieku powyżej 40 roku życia wylosowano po 500 osób. Badanie dotyczyło oceny ryzyka chorób sercowo-naczyniowych. Wśród badanych parametrów znajduje się wartość cholesterolu całkowitego. Celem tego badania będzie porównanie mężczyzn i kobiet co do tej wartości. Chcemy bowiem wykazać, że te populacje różnią się już na poziomie cholesterolu całkowitego a nie tylko w obrębie cholesterolu rozbitego na frakcje.

Dane do zadania znajdują się w pliku przykładów cholesterol.pqs}

Rozkład poziomu cholesterolu całkowitego w obu populacjach jest rozkładem normalnym (zostało to sprawdzone testem Lillieforsa). Średnia wartość cholesterolu w grupie kobiet wyniosła $\overline{x}_1=201.1$ a odchylenie standardowe $sd_1=47.6$, w grupie mężczyzn odpowiednio $\overline{x}_2=191.5$ i $sd_2=43.5$. Test Fishera-Snedecora wskazuje na niewielkie lecz istotne statystycznie ($p=0.0434$) różnice w wariancjach. W analizie zastosowany zostanie test t-Studenta z poprawką Cochrana-Coxa.

Hipotezy:


$
\begin{array}{cl}
\mathcal{H}_0: & $średni cholesterol całkowity populacji kobiet jest równy$\\
&$średniemu cholesterolowi całkowitemu populacji mężczyzn,$\\
\mathcal{H}_1: & $średni cholesterol całkowity populacji kobiet jest różny$ \\
&$od średniego cholesterolu całkowitego populacji mężczyzn.$
\end{array}
$

Porównując wartość $p=0.0009$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że kobiety i mężczyźni w Polsce różnią się istotnie statystycznie wartością cholesterolu całkowitego. Przeciętna Polka, która ukończyła 40 rok życia ma wyższy cholesterol całkowity od przeciętnego Polaka prawie o 10 jednostek.


Narzędzia witryny