Test Z dla dwóch zależnych proporcji

Test $Z$ dla dwóch zależnych proporcji stosujemy w podobnych sytuacjach jak test Test McNemara, tzn. gdy mamy 2 zależne grupy pomiarów ($X^{(1)}$ i $X^{(2)}$), w których możemy uzyskać 2 możliwe wyniki badanej cechy ( $(+)$ i $(-)$ ).

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
\hline
\multicolumn{2}{|c||}{Liczności obserwowane}& \multicolumn{3}{|c|}{$X^{(2)}$} \\\cline{3-5}
\multicolumn{2}{|c||}{$O_{ij}$}&\textbf{(+)}&\textbf{($-$)}& \textbf{Suma}\\\hline \hline
\multirow{3}{*}{$X^{(1)}$} & \textbf{(+)} & $O_{11}$ & $O_{12}$ & $O_{11}+O_{12}$ \\\cline{2-5}
&\textbf{($-$)}& $O_{21}$ & $O_{22}$ & $O_{21}+O_{22}$\\\cline{2-5}
&\textbf{Suma} & $O_{11}+O_{21}$ & $O_{12}+O_{22}$ & $n=O_{11}+O_{12}+O_{21}+O_{22}$\\\hline
\end{tabular}

Dla grup tych możemy również wyliczyć wyróżnione proporcje $p_1=\frac{O_{11}+O_{12}}{n}$ i $p_2=\frac{O_{11}+O_{21}}{n}$. Test ten służy do weryfikacji hipotezy, że wyróżnione proporcje $P_1$ i $P_2$ w populacji, z której pochodzi próba są sobie równe.
Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:


$
\begin{array}{cl}
\mathcal{H}_0: & P_1-P_2=0,\\
\mathcal{H}_1: & P_1-P_2\neq 0,
\end{array}
$

gdzie:

$P_1$, $P_2$ frakcja dla pierwszego i drugiego pomiaru.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath}
Z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{O_{21}+O_{12}}}\cdot n,
\end{displaymath}

Statystyka Z ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl}
$ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ 	\mathcal{H}_1, \\
$ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\
\end{array}

Uwaga!

Przedział ufności dla różnicy dwóch zależnych proporcji estymowany jest w oparciu o metodę Newcomba-Wilsona.

Okno z ustawieniami opcji testu Z dla dwóch zależnych proporcji wywołujemy poprzez menu StatystykaTesty nieparametryczne (kat. nieuporządkowane)Z dla dwóch zależnych proporcji.

Przykład c.d. (plik opinia.pqs)

Gdy ograniczymy nasze badanie do osób mających zdefiniowany pogląd na temat wykładowcy (tzn. oceniają tylko pozytywnie lub negatywnie), to takich studentów uzyskamy 152. Dane do obliczeń to: $O_{11}=50$, $O_{12}=4$, $O_{21}=44$, $O_{22}=54$. Wiemy, że $\frac{50+4}{152}=35.53\%$ studentów przed egzaminem wyrażało negatywną opinię. Po egzaminie odpowiedni procent wynosił $\frac{50+44}{152}=61.84\%$.

Hipotezy:


$
\begin{array}{cl}
\mathcal{H}_0: & $brak różnicy pomiędzy liczbą negatywnych ocen dotyczących $\\
&$wykładowcy przed egzaminem i po egzaminie,$\\
\mathcal{H}_1: & $istnieje różnica pomiędzy liczbą negatywnych ocen dotyczących $\\
&$wykładowcy przed egzaminem i po egzaminie.$
\end{array}
$

Różnica proporcji wyróżnionych w próbie to 26.32%, a 95% przedział ufności dla niej (18.07%, 33.88%) nie zawiera 0.

Na podstawie testu $Z$ ($p$=0.0001), na poziomie istotności $\alpha$=0.05 (podobnie jak w przypadku testu McNemara) przyjmujemy hipotezę alternatywną. Zatem proporcja negatywnych ocen przed egzaminem jest inna niż proporcja negatywnych ocen po egzaminie. Po egzaminie istotnie częściej wykładowca jest oceniany negatywnie.


Narzędzia witryny