PQStat - Baza Wiedzy

Metoda kwadratów

Metoda kwadratów (ang. Quadrat Count Methods).

Graficznie metoda ta jest uogólnieniem histogramu, czy analizy jednowymiarowej, na przypadek dwuwymiarowy. Budując histogram dysponujemy jedną zmienną, którą dzielimy na przedziały równej długości i podajemy liczbę przypadków w każdym przedziale. Budując siatkę kwadratów dysponujemy dwiema zmiennymi, na podstawie których budujemy siatkę i podajemy liczbę przypadków w każdym kwadracie siatki (DPS - ang. Dot Per Square). Stosunek tej liczności do pola kwadratu stanowi o intensywność barwy na jaką kolorowany jest dany kwadrat siatki.

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline \cellcolor[rgb]{0.8,0.8,0.8}&\textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}&\cellcolor[rgb]{0.4,0.4,0.4}\textcolor[rgb]{0.4,0.4,0.4}{aa}$\bullet$&\textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}\\ \cellcolor[rgb]{0.8,0.8,0.8}$\bullet$&&\cellcolor[rgb]{0.4,0.4,0.4}$\bullet$&\\ \hline \textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}&\textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}&\textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}&\textcolor[rgb]{0.8,0.8,0.8}{aa}\cellcolor[rgb]{0.8,0.8,0.8}$\bullet$\\ \textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}&\textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}&\textcolor[rgb]{1,1,1}{aaa}&\cellcolor[rgb]{0.8,0.8,0.8}\\ \hline \end{tabular}$

Na podstawie liczby przypadków w kwadratach siatki możemy badać ich rozkład przestrzenny. Jeśli w każdym kwadracie znajduje się taka sama liczba punktów, oznacza to idealnie równomierny rozkład. Gdy jest odwrotnie, gdy zróżnicowanie liczby punków w kwadratach jest bardzo duże, oznacza to że są kwadraty o znacznie większej liczbie punktów, czyli tworzą się klastery.

Jeśli przez $n$ oznaczymy liczbę punktów badanego obszaru, a przez $m$ liczbę kwadratów na jaki badany obszar zostaje podzielony, wówczas można wyznaczyć średnią, wariancję i odchylenie standardowe liczby punktów na kwadrat: $\begin{displaymath} \overline{DPS}=\frac{n}{m}, \quad Var_{(DPS)}=\frac{\sum_{i=1}^k m_i(n_i-\mu)^2}{m -1}, \quad SD_{(DPS)}=\sqrt{var}, \end{displaymath}$ gdzie $m_i$ - to liczba kwadratów z liczbą punktów równą $n_i$ .

Współczynnik $VMR_{(DPS)}$

Najważniejszą informacje niesie współczynnik będący ilorazem wariancji i średniej (ang. variance-mean ratio):

$\begin{displaymath} VMR_{(DPS)}=\frac{Var}{\overline{DPS}} \end{displaymath}$ Wartość $VMR_{(DPS)}<1$ wskazuje na zbyt małe zróżnicowanie liczby punktów w kwadratach co sugeruje efekt równomiernego rozproszenia, $VMR_{(DPS)}>1$ oznacza zbyt duże zróżnicowanie liczby punktów w kwadratach a więc efekt klasteryzacji, a wartość bliska 1 wskazuje na przeciętne zróżnicowanie liczby punktów w kwadratach co oznacza losowość rozkładu punktów.

W literaturze często rozważany jest wskaźnik wielkości klasterów (ang. Index of Cluster Size - ICS): $\begin{displaymath} ICS_{(DPS)}=VMR_{(DPS)}-1 \end{displaymath}$ Oczekiwana wartość $ICS_{(DPS)}$ przy założeniu losowości punktów wynosi 0. Wartość dodatnia wskazuje na efekt klasteryzacji, a ujemna na regularny rozkład punktów.

Istotności współczynnika $VMR_{(DPS)}$

Test sprawdzający istotność współczynnika $VMR_{(DPS)}$ służy do weryfikacji hipotezy o tym, że obserwowane liczności punktów w kwadratach są takie same jak oczekiwane liczności, które pojawiłyby się dla losowego rozkładu punktów.

Hipotezy:

$\begin{array}{ll} \mathcal{H}_0: & VMR_{(DPS)}=1,\\ \mathcal{H}_1: & VMR_{(DPS)} \neq 1. \end{array}$

Statystyka testowa ma postać:

$\begin{displaymath} \chi^2=(m-1)\cdot VMR_{(DPS)}. \end{displaymath}$ Statystyka ta ma asymptotycznie rozkład chi-kwadrat z $df=m-1$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$ :

$\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}$

Uwaga!

Uzyskany wynik analizy w znacznym stopniu zależy od gęstości siatki a więc od liczby/wielkości kwadratów na jakie dzielony jest analizowany obszar. W oknie opcji testu można ustawić siatkę, jaka będzie użyta do podziału badanego obszaru na kwadraty, podając liczbę kwadratów w pionie i w poziomie.

Okno z ustawieniami opcji metody kwadratów wywołujemy poprzez menu Analiza przestrzenna→Statystyki przestrzenne→Metoda kwadratów

Przykład (plik kwadraty.pqs)

Na podstawie arkusza danych wygeneruj dwie mapy punktów i wykonaj analizę gęstości tych punktów. Odpowiedz na pytanie: Czy punkty są rozłożone losowo w każdej z tych map?

Mapy punktów tworzymy przy pomocy formuł: menu Dane→Formuły…

W rezultacie uzyskamy dwa nowe arkusze zawierające mapy. Dla każdego z tych arkuszy przeprowadzamy analizę kwadratów.

Hipotezy:

$\begin{array}{ll} \mathcal{H}_0: & $rozkład punktów w populacji z której pochodzi próba jest losowy ,$\\ \mathcal{H}_1: & $rozkład punktów w populacji z której pochodzi próba nie jest losowy.$ \end{array}$

Wyniki dla mapy 1 wskazują na znaczne zróżnicowanie liczby punktów w kwadratach, czyli na efekt klasteryzacji (wartość $p=<0.00001$ ). Efekt ten utrzymuje się dla różnych gęstości siatki. Dla siatki gęstości 10:10 współczynnik $VMR$ wynosi aż 12.5, cały raport został zamieszczony poniżej:

Dla mapy 2 sytuacja jest zupełnie inna. Dla siatki gęstości 10:10 mamy brak istotności statystycznej (wartość $p=0.95847$ ) oraz wartość współczynnika $VMR=0.77$ wskazują na losowość rozkładu punktów.

Wykorzystując przycisk umieszczony w raporcie przenosimy się do Menadżera map by z wyświetlonej listy warstw wybrać wykonaną siatkę analizy kwadratów i uzyskać graficzną interpretację wyników.

PQStat - Baza Wiedzy

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Pasek boczny

Metoda kwadratów

Narzędzia strony