PQStat - Baza Wiedzy

Test Z dla dwóch niezależnych proporcji

Test $Z$ dla dwóch niezależnych proporcji stosujemy w podobnych sytuacjach jak test chi-kwadrat (2x2), tzn. gdy mamy 2 niezależne próby o liczności $n_1$ i $n_2$ , w których możemy uzyskać 2 możliwe wyniki badanej cechy (jeden z nich to wynik wyróżniony o liczności $m_1$ - w pierwszej próbie i $m_2$ - w drugiej próbie). Dla prób tych możemy również wyznaczyć wyróżnione proporcje $p_1=\frac{m_1}{n_1}$ i $p_2=\frac{m_2}{n_2}$ . Test ten służy do weryfikacji hipotezy, że wyróżnione proporcje $P_1$ i $P_2$ w populacjach, z których pochodzą próby są sobie równe.
Podstawowe warunki stosowania:

pomiar na skali nominalnej - ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę,
model niezależny,
duża liczność.

Hipotezy:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & P_1=P_2,\\ \mathcal{H}_1: & P_1\neq P_2, \end{array}$

gdzie:

$P_1$ , $P_2$ frakcja dla pierwszej i drugiej populacji.

Statystyka testowa ma postać: $\begin{displaymath} Z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$p=\frac{m_1+m_2}{n_1+n_2}$ .

Zmodyfikowana o poprawkę na ciągłość statystyka testowa ma postać:

$\begin{displaymath} Z=\frac{p_1-p_2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2} \right)}{\sqrt{p(1-p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}. \end{displaymath}$

Statystyka bez korekcji na ciągłość jak i z tą korekcją ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$ :

$\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}$

W programie oprócz różnicy proporcji wyliczana jest wartość wskaźnika NNT i/lub NNH.

NNT (ang. number needed to treat) $-$ wskaźnik stosowany w medycynie, oznacza liczbę pacjentów, których trzeba poddać leczeniu przez określony czas, aby wyleczyć jedną osobę, która w innych okolicznościach nie wyzdrowiałaby. NNT wyliczane jest z wzoru:

$\begin{displaymath} NNT=\frac{1}{|p_1-p_2|} \end{displaymath}$

i jest cytowane wtedy, gdy różnica $p_1-p_2$ jest dodatnia.

NNH (ang. number needed to harm) $-$ wskaźnik stosowany w medycynie, oznacza liczbę pacjentów, których narażenie na ryzyko przez określony czas, powoduje uszczerbek na zdrowiu u jednej osoby, która w innych okolicznościach nie doznałaby uszczerbku. NNH wyliczane jest w ten sam sposób co NNT, ale jest cytowane wtedy, gdy różnica $p_1-p_2$ jest ujemna.

Przedział ufności $-$ im węższy przedział ufności, tym bardziej precyzyjne oszacowanie. Jeśli w przedziale ufności zawarte jest 0 dla różnicy ryzyka, a $\infty$ dla NNT i/lub NNH, to jest wskazanie do tego, by dany wynik traktować jako nieistotny statystycznie.

Uwaga!

Przedziały ufności dla różnicy dwóch niezależnych proporcji od wersji PQStat 1.3.0 estymowane są w oparciu o metodę Newcomba-Wilsona (Bender (2001)¹⁾, Newcombe (1998)²⁾, Wilson (1927)³⁾). W poprzednich wersjach były estymowane w oparciu o metodę Walda.

Uzasadnienie zmiany:

Przedziały ufności oparte o klasyczną metodę Walda są odpowiednie dla dużych rozmiarów próbek i różnicy proporcji dalekiej od 0 lub 1. Dla małych prób i różnicy proporcji bliskiej tym skrajnym wartościom, w wielu sytuacjach praktycznych, metoda Walda może prowadzić do wyników niewiarygodnych (Newcombe 1998⁴⁾, Miettinen 1985⁵⁾, Beal 1987⁶⁾, Wallenstein 1997⁷⁾). Porównanie i przeanalizowanie wielu metod, które mogą być używane zamiast prostej metody Walda, można znaleźć w pracy Newcombe (1998)⁸⁾. Sugerowaną, odpowiednią również dla skrajnych wartości proporcji, jest roszerzona na przedziały dla różnicy dwóch niezależnych proporcji, metoda opublikowana po raz pierwszy przez Wilsona (1927)⁹⁾.

Uwaga!

Przedział ufności dla NNT i/lub NNH wyliczany jest jako odwrotność przedziału dla proporcji, zgodnie ze sposobem zaproponowanym przez Altmana (Altman (1998)¹⁰⁾).

Okno z ustawieniami opcji testu Z dla dwóch niezależnych proporcji wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→Z dla dwóch niezależnych proporcji.

Przykład c.d. (plik płeć-egzamin.pqs)

Wiemy, że $\frac{50}{90}=55.56\%$ z wszystkich kobiet w próbie zdaje pozytywnie egzamin i $\frac{20}{80}=25.00\%$ z wszystkich mężczyzn w próbie zdaje egzamin pozytywnie. Dane możemy zapisać na dwa sposoby $-$ jako licznik i mianownik dla każdej próby, lub jako proporcja i mianownik dla każdej próby:

Hipotezy:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $proporcja mężczyzn, uzyskujących pozytywny wynik egzaminu jest taka$\\ &$ sama jak kobiet uzyskujących pozytywny wynik egzaminu w badanej populacji,$\\ \mathcal{H}_1: & $proporcja mężczyzn, uzyskujących pozytywny wynik egzaminu jest inna niż$\\ &$ proporcja kobiet uzyskujących pozytywny wynik egzaminu w badanej populacji.$ \end{array}$

Uwaga!

Ponieważ w arkuszu danych znajduje się więcej informacji, przed rozpoczęciem analizy należy zaznaczyć odpowiedni obszar (dane bez nagłówków). W oknie testu natomiast wybrać opcję mówiącą o zawartości zmiennej (liczność (licznik) lub proporcja). Różnica proporcji wyróżnionych w próbie to 30.56%, a 95% przedział ufności dla niej (15.90%, 43.35%) nie zawiera 0.

Na podstawie testu $Z$ bez poprawki na ciągłość ( $p$ =0.000053) jak też z poprawką na ciągłość ( $p$ =0.0001), na poziomie istotności $\alpha$ =0.05 (podobnie jak w przypadku testu dokładnego Fishera, jego poprawki mid-p, testu $\chi^2$ i testu $\chi^2$ z poprawką Yatesa) przyjmujemy hipotezę alternatywną. Zatem proporcja mężczyzn, uzyskujących pozytywny wynik egzaminu jest inna niż proporcja kobiet uzyskujących pozytywny wynik egzaminu w badanej populacji. Istotnie częściej ten egzamin zdają kobiety ( $\frac{50}{90}=55.56\%$ z wszystkich kobiet w próbie zdało egzamin) niż mężczyźni ( $\frac{20}{80}=25.00\%$ z wszystkich mężczyzn w próbie zdało egzamin).

Przykład

Załóżmy, że choroba ma śmiertelność 100% bez leczenia, a terapia zmniejsza śmiertelność do 50% - jest to wynik 20 letnich badań. Chcemy wiedzieć jak wiele osób będzie trzeba leczyć, aby zapobiec w ciągu 20 lat 1 śmierci. By odpowiedzieć na to pytanie pobrano dwie 100 osobowe próby z populacji osób chorych. W próbie nieleczonych mamy 100 chorych pacjentów, wiemy, że bez leczenia wszyscy oni umrą. W próbie leczonych mamy również 100 pacjentów, z których 50 przeżyje.

$\begin{tabular}{|c|c||c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c||}{Chorzy $-$ nie leczeni }& \multicolumn{2}{|c|}{Chorzy $-$ leczeni}\\\hline liczność licznik&liczność próby (mianownik)&liczność licznik&liczność próby (mianownik)\\\hline 100&100&50&100\\\hline \end{tabular}$

Wyliczymy wskaźnik NNT.

Różnica pomiędzy proporcjami jest istotna statystycznie ( $p<0.000001$ ), ale nas interesuje wskaźnik NNT - wynosi on 2, czyli stosowanie leczenia u 2 chorych przez 20 lat zapobiegnie 1 śmierci. Wyliczony 95% przedział ufności należy zaokrąglić do wartości całkowitych, co daje NNT od 2 do 3 chorych.

Przykład

Wartość pewnej różnicy proporcji w badaniu porównującym skuteczność leku 1 vs lek 2 wynosiła różnica(95%CI)=-0.08 (-0.27 do 0.11). Ta ujemna różnica proporcji sugeruje, że lek 1 był mniej skuteczny niż lek 2, jego zastosowanie naraziło więc chorych na ryzyko. Ponieważ różnica proporcji jest ujemna, to wyznaczoną odwrotność nazywamy NNH, a ponieważ przedział ufności zawiera nieskończoność NNH(95%CI)= 2.5 (NNH 3.7 to ∞ to NNT 9.1) i przechodzi z NNH do NNT, należy uznać że uzyskany wynik nie jest istotny statystycznie (Altman (1998)¹¹⁾).

¹⁾

Bender R. (2001), Calculating confidence intervals for the number needed to treat. Controlled Clinical Trials 22:102–110

²⁾ , ⁴⁾ , ⁸⁾

Newcombe R.G. (1998), Interval Estimation for the Difference Between Independent Proportions: Comparison of Eleven Methods. Statistics in Medicine 17: 873-890

³⁾ , ⁹⁾

Wilson E.B. (1927), Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference. Journal of the American Statistical Association: 22(158):209-212

⁵⁾

Miettinen O.S. and Nurminen M. (1985), Comparative analysis of two rates. Statistics in Medicine 4: 213-226

⁶⁾

Beal S.L. (1987), Asymptotic confidence intervals for the difference between two binomial parameters for use with small samples. Biometrics 43: 941-950

⁷⁾

Wallenstein S. (1997), A non-iterative accurate asymptotic confidence interval for the difference between two Proportions. Statistics in Medicine 16: 1329-1336

¹⁰⁾ , ¹¹⁾

Altman D.G. (1998), Confidence intervals for the number needed to treat. BMJ. 317(7168): 1309–1312

PQStat - Baza Wiedzy

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Pasek boczny

Test Z dla dwóch niezależnych proporcji

Narzędzia strony