pqstat.pl

Narzędzia użytkownika

Statystyka opisowa

Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumowanie zbioru danych poprzez pewne charakterystyki np. poprzez wartość średniej, mediany czy odchylenia standardowego, oraz wyciągnięcie pewnych podstawowych wniosków i uogólnień na temat zbioru.

Aby wyznaczyć statystyki opisowe dla danych zgromadzonych w arkuszu należy wyświetlić okno Statystyki opisowe poprzez wybranie menu StatystykaStatystyki opisowe.

W oknie tym wybieramy zmienną do analizy oraz opcje analizy i zaznaczamy interesujące nas miary statystyk opisowych. Przy czym zaznaczać można pojedyncze statystyki lub grupy statystyk wybierając przycisk . Dokonany wybór potwierdzamy przyciskiem OK. Wynik dokonanej analizy znajdzie się w raporcie dołączonym do arkusza danych, dla których analiza została wykonana.

Dodatkowo, jeśli chcemy by dane zostały zobrazowane za pomocą wykresu ramka-wąsy, wówczas w oknie Statystyk opisowych zaznaczamy opcję Dołącz wykres.

 

Miary położenia

Miary tendencji centralnej

Miary tendencji centralnej są to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Średnia arytmetyczna (ang. arithmetic mean) wyraża się wzorem: \begin{displaymath}
\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n},
\end{displaymath}

gdzie $x_i$ to kolejne wartości zmiennej a $n$ - liczność próby.

Średnia arytmetyczna jest stosowana dla skali interwałowej. Dla próby przyjmuje się ją oznaczać przez $\overline{x}$ a dla populacji przez $\mu$.

Średnia geometryczna (ang. geometric mean) wyraża się wzorem: \begin{displaymath}
\overline{x}_G=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n  x_i}.
\end{displaymath} Średnia ta jest stosowana dla skali interwałowej, gdy zmienna ma rozkład logarytmiczno-normalny (logarytm zmiennej ma rozkład normalny).

Średnia harmoniczna (ang. harmonic mean) wyraża się wzorem: \begin{displaymath}
\overline{x}_H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}.
\end{displaymath} Średnia ta jest stosowana dla skali interwałowej.

Mediana (ang. median)

W uporządkowanym zbiorze danych mediana jest wartością dzielącą ten zbiór na dwie równe części. Połowa wszystkich obserwacji znajduje się poniżej, a połowa powyżej mediany.

\begin{pspicture}(0,0)(10,10.6)
\pscoil[coilaspect=0, coilarm=.1cm, linewidth=0.5pt, coilwidth=.5cm, coilheight=1]{-}(0,4)
\rput(0,4.2){min}
\rput(0,-.2){max}
\psline(-0.35,2)(.35,2)
\rput(1.2,2){mediana}
\rput(-0.6,2.8){50$\%$}
\rput(-0.6,1.2){50$\%$}
\end{pspicture}

Mediana może być stosowana w skali interwałowej oraz porządkowej.

Moda (ang. mode)

Moda $-$ jest to wartość, która występuje najczęściej wśród uzyskanych pomiarów. Moda może być stosowana w każdej skali pomiarowej.

 

Inne miary położenia

kwartyle (ang. quartiles), decyle (ang. deciles), centyle (ang. centiles)

\begin{pspicture}(0,-.2)(4,4.4)
\pscoil[coilaspect=0, coilarm=.1cm, linewidth=0.5pt, coilwidth=.5cm, coilheight=1]{-}(0,4)
\rput(0,4.2){max}
\rput(0,-.2){min}
\psline(-0.35,3)(.35,3)
\psline(-0.35,2)(.35,2)
\psline(-0.35,1)(.35,1)
\rput(2.9,3){$C_{75}$ = kwartyl górny = $Q_3$}
\rput(2.4,2){$C_{50}$ = mediana = $Q_2$}
\rput(2.9,1){$C_{25}$ = kwartyl dolny = $Q_1$}
\rput(1,3.5){25$\%$}
\rput(1,2.5){25$\%$}
\rput(1,1.5){25$\%$}
\rput(1,.5){25$\%$}
\end{pspicture}

Kwartyle ($Q_1$, $Q_2$, $Q_3$) dzielą uporządkowany szereg na 4 równe części, decyle ($D_i$, $i=1,2,...,9$) na 10 równych części a centyle (percentyle: $C_i$, $i=1,2,...,99$) na 100 równych części. Drugi kwartyl, piąty decyl i pięćdziesiąty centyl są równe medianie. Miary te mogą być stosowane w skali interwałowej oraz porządkowej.

 
 

Skale pomiarowe

Poprawne określenie rodzaju wykonywanej analizy zależy od skali na jakiej wyrażone są zebrane dane. Wyróżniamy 3 główne skale pomiarowe:

  1. Skala interwałowa (przedziałowa) (ang. interval scale)
    Zmienna jest wyrażona na skali interwałowej, gdy:
    • można ją uporządkować,
    • można obliczyć o ile jeden element jest większy od drugiego i różnica tych elementów ma interpretację w świecie rzeczywistym. Zwykle określona jest jednostka miary.
      Przykład: masa obiektu [kg], powierzchnia obiektu [m], czas [lata], prędkość [km/h] itp.

  2. Skala porządkowa (ang. ordinal scale)
    Zmienna jest wyrażona na skali porządkowej, gdy:
    • można ją uporządkować, czyli ma znaczenie kolejność występowania elementów,
    • nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.
      Przykład: wykształcenie, kolejność zawodników na podium itp.

      Uwaga!
      Jeśli zmienna jest wyrażona na skali porządkowej, to by można było wykonać na niej w sposób prawidłowy obliczenia powinna być zapisana za pomocą liczb. Liczby te to umowne identyfikatory mówiące o kolejności elementów.

  3. Skala nominalna (ang. nominal scale)
    Zmienna jest wyrażona na skali nominalnej, gdy:
    • nie można jej uporządkować, czyli nie istnieje wynikające z natury danego zjawiska uporządkowanie,
    • nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.
      Przykład: płeć, kraj zamieszkania itp.

      Uwaga!
      Jeśli zmienna jest wyrażona na skali nominalnej, to może być zapisana za pomocą etykiet tekstowych. Nawet jeśli wartości zmiennej nominalnej są wyrażane liczbowo, to liczby te są tylko umownymi identyfikatorami, nie można więc wykonywać na nich działań arytmetycznych, ani ich porównywać.
 

Miary rozproszenia

Znajomość miar tendencji centralnej nie wystarcza do scharakteryzowania struktury zbiorowości statystycznej. Badana grupa może charakteryzować się różnym stopniem zmienności w zakresie badanej cechy. Potrzebne są zatem formuły pozwalające wyznaczyć wartości, które charakteryzują rozrzut danych.

Miary rozproszenia są liczone tylko dla skali interwałowej, ponieważ bazują one na odległościach między punktami.

Rozstęp (ang. range) wyraża się wzorem:

\begin{displaymath}
I=\max x_i - \min x_i \label{rozstep},
\end{displaymath}

gdzie $x_i$ to wartości badanej zmiennej

\begin{displaymath}
IQR=\textrm{rozstęp kwartylowy}=Q_3-Q_1 \label{rozstepkw},
\end{displaymath}

gdzie $Q_1, Q_3$ to dolny i górny kwartyl.

Rozstępy dla skali percentylowej (decylowej, centylowej). Rozstępy miedzy percentylami to jedna z miar rozproszenia i określa procent wszystkich obserwacji, których wartość znajduje się pomiędzy wybranymi percentylami.

Wariancja (ang. variance) - mierzy stopień rozproszenia pomiarów wokół średniej arytmetycznej

  • wariancja z próby:
    \begin{displaymath}
sd^2=\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}, \label{wariancja}
\end{displaymath}

gdzie $x_i$ to kolejne wartości zmiennej a $\overline{x}$ to średnia arytmetyczna tych wartości, $n$ - liczność próby.

  • wariancja z populacji:
    \begin{displaymath}
\sigma^2=\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}, \label{wariancja}
\end{displaymath}

gdzie $x_i$ to kolejne wartości zmiennej a $\mu$ to średnia arytmetyczna tych wartości, $N$ - liczność populacji.

Wariancja jest zawsze dodatnia, ale nie jest wyrażona w tych samych jednostkach co wyniki pomiarów.

Odchylenie standardowe (ang. standard deviation) $-$ mierzy stopień rozproszenia pomiarów wokół średniej arytmetycznej.

  • odchylenie standardowe z próby:
    \begin{displaymath}
sd=\sqrt{sd^2}, \label{odch.standard}
\end{displaymath}
  • odchylenie standardowe z populacji:
    \begin{displaymath}
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
\end{displaymath}

Im wyższa wartość odchylenia standardowego lub wariancji, tym bardziej zróżnicowana grupa pod względem badanej cechy.

Uwaga! Odchylenie standardowe z próby jest pewnym przybliżeniem (estymatorem) odchylenia standardowego z populacji. Populacyjna wartość odchylenia standardowego mieści się w pewnym przedziale zawierającym odchylenie standardowe z próby. Przedział ten nazywany jest przedziałem ufności (confidence interval) dla odchylenia standardowego.

Współczynnik zmienności (ang. coefficient of variation)
Współczynnik zmienności podobnie jak odchylenie standardowe pozwala na ocenę stopnia jednorodności badanej zbiorowości. Wyraża się wzorem:
\begin{displaymath}
V=\frac{sd}{\overline{x}}100\% ,	\label{wspzmienn}
\end{displaymath}

gdzie $sd$ to odchylenie standardowe, $\overline{x}$ to średnia arytmetyczna.

Jest to wielkość niemianowana. Pozwala on na ocenę zróżnicowania kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy oraz tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech (wyrażonych w różnych jednostkach). Przyjmuje się, że jeżeli współczynnik $V$ nie przekracza 10\%, to cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie nieistotne.

Błędy standardowe (ang. standard errors) - nie są miarami rozproszenia wyników pomiarowych, lecz określają stopień dokładności z jaką możemy określić wartości parametrów populacji na podstawie wyznaczenia ich estymatorów dla próby.

Błąd średniej arytmetycznej (ang. standard error of the mean) wyraża się następującym wzorem: \begin{displaymath}
SEM=\textrm{błąd standardowy średniej}=\frac{sd}{\sqrt{n}} \label{sem}.
\end{displaymath}

Uwaga! Na podstawie błędu standardowego estymatora z próby można określić przedział ufności dla parametru populacji.

 

Inne atrybuty rozkładu

Skośność inaczej współczynnik asymetrii (ang. skewness)

Jest to miara, która mówi o tym jak bardzo rozkład danych różni się od rozkładu symetrycznego. Im wartość współczynnika asymetrii jest bliższa zeru, tym bardziej symetrycznie wokół średniej rozkładają się dane. Zwykle wartość tego współczynnika zawiera się w przedziale [-1, 1], chociaż może w przypadku szczególnie dużej asymetrii znaleźć się poza tym przedziałem. Wartości dodatnie świadczą o występowaniu skośności prawostronnej (o dłuższym prawym „ogonie”) wartości ujemne zaś o skośności lewostronnej (o dłuższym lewym „ogonie”). Skośność wyraża się wzorem: \begin{displaymath}
A=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i-\overline{x}}{sd}\right)^3,
\end{displaymath}

gdzie:

$x_i$ – kolejne wartości zmiennej,

$\overline{x}$, $sd$ – odpowiednio średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe $x_i$,

$n$ – liczność próby.

\begin{tabular}{cc}
\begin{pspicture}(0,-.7)(7,3.6)
\rput(2.5,3.3){skośność prawostronna}
\rput(2.8,2.8){$A>0$}
\psline{->}(0,0)(0,3)
\psline{->}(0,0)(6.3,0)
\psbezier{-}(.2,.2)(.5,.2)(.7,2.3)(1.3,2.5)
\psbezier{-}(1.3,2.5)(2,2.5)(3,.2)(5.3,.2)
\psline[linestyle=dotted]{-}(2.2,0)(2.2,1.7)
\rput(2.55,-.3){Med.}
\psline[linestyle=dotted]{-}(1.3,0)(1.3,2.5)
\rput(1.3,-.3){Moda}
\psline[linestyle=dotted]{-}(3.4,0)(3.4,.7)
\rput(3.5,-.3){$\overline{X}$}
\rput{90}(-.4,2.7){częstość}
\rput(6.1,-.3){x}
\end{pspicture}
&
\begin{pspicture}(0,-.7)(7,3.6)
\rput(2.5,3.3){skośność lewostronna}
\rput(2.2,2.8){$A<0$}
\psline{->}(0,0)(0,3)
\psline{->}(0,0)(6.3,0)
\psbezier{-}(.2,.2)(2.1,.2)(2.8,2.5)(3.7,2.5)
\psbezier{-}(3.7,2.5)(4.2,2.5)(4.8,.2)(5.5,.2)
\psline[linestyle=dotted]{-}(2.85,0)(2.85,1.75)
\rput(2.7,-.3){Med.}
\psline[linestyle=dotted]{-}(3.7,0)(3.7,2.5)
\rput(3.9,-.3){Moda}
\psline[linestyle=dotted]{-}(1.7,0)(1.7,.7)
\rput(1.7,-.3){$\overline{X}$}
\rput{90}(-.4,2.7){częstość}
\rput(6.1,-.3){x}
\end{pspicture}
\end{tabular}

Kurtoza inaczej współczynnik koncentracji (ang. kurtosis)

Jest to miara, która mówi o tym jak bardzo rozrzut danych wokół średniej jest zbliżony do rozrzutu tych danych w rozkładzie normalnym. Im wartość kurtozy jest większa od zera, tym badany rozkład jest bardziej smukły niż rozkład normalny a im wartość kurtozy jest mniejsza od zera, tym badany rozkład jest bardziej spłaszczony niż rozkład normalny. Kurtoza wyraża się wzorem: \begin{displaymath}
K=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i-\overline{x}}{sd}\right)^4-\frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)},
\end{displaymath}

gdzie:

$x_i$ – kolejne wartości zmiennej,

$\overline{x}$, $sd$ – odpowiednio średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe $x_i$,

$n$ – liczność próby.

\begin{pspicture}(0,-.8)(6.5,3.4)
\rput(4.0,.7){$K_1<0$}
\rput(4.5,2.5){$K_2>0$}
\psline{->}(0,0)(0,3)
\psline{->}(0,0)(7,0)
\psbezier[linestyle=dashed]{-}(.2,.2)(2.2,.8)(2.3,1.4)(3.2,1.5)
\psbezier[linestyle=dashed]{-}(3.2,1.5)(4.1,1.4)(4.2,.8)(6.2,.2)
\psbezier{-}(.4,.2)(2.4,.6)(2.5,3.0)(3.2,3.1)
\psbezier{-}(3.2,3.1)(3.9,3.0)(4.0,.6)(6.0,.2)
\psline[linestyle=dotted]{-}(3.2,0)(3.2,3.1)
\rput(3.2,-.3){$\overline{X}$}
\rput{90}(-.4,2.7){częstość}
\rput(6.8,-.3){x}
\end{pspicture}

Przykład (plik nawozy.pqs)

W doświadczeniu dotyczącym nawożenia gleby różnymi rodzajami preparatów mikrobiologicznych i nawozów wyliczono ilość mikroorganizmów występujących w 1 gramie suchej masy gleby. Chcemy wyznaczyć statystyki opisowe ilości promieniowców dla próbki nawożonej azotem i zobrazować uzyskane wyniki za pomocą wykresu ramka-wąsy. Zaznaczamy w arkuszu danych tylko 54 pierwsze wiersze, które odpowiadają założeniom analizy (są to promieniowce nawożone azotem) i uruchamiamy okno Statystyki opisowe poprzez menu StatystykaStatystyki opisowe.

W oknie opcji testu statystyk opisowych wybieramy zmienną do analizy: Ilość mikroorganizmów, a następnie procedury jakie chcemy wykonać (np. średnią arytmetyczną wraz z przedziałem ufności, medianę, odchylenie standardowe wraz z przedziałem ufności oraz informacje o skośności i kurtozie rozkładu wraz z błędami). Na górze okna powinien być widoczny komunikat:

Dane ograniczone przez zaznaczenie

By w raporcie znalazł się również wykres, zaznaczamy opcję Dołącz wykres i wybieramy interesujący nas rodzaj wykresu ramka-wąsy. Potwierdzamy wybór przyciskiem OK i uzyskujemy wynik w postaci raportu:

 

Narzędzia strony