Test Box'a równości macierzy kowariancji

Test ten służy do porównania dwóch lub więcej ($m \geq 2$) macierzy kowariancji opisujących niezależne populacje.

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:

\begin{array}{cl}
\mathcal{H}_0: & \Sigma_1=\Sigma_2=...=\Sigma_m,\\
\mathcal{H}_1: & $nie wszystkie $\Sigma_j$ są sobie równe $(j=1,2,...,m)$$,
\end{array}

gdzie:

$\Sigma_1, \Sigma_2, ..., \Sigma_m$ - populacyjne macierze kowariancji.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath}
F=\frac{M}{b}
\end{displaymath}

gdzie:

$M=(n-m)\ln|S|-\sum_{j=1}^m(n_j-1)\ln|S_j|$,

$S$- wspólna (ang. pooled) macierz kowariancji,

$S_j$ - macierz kowariancji dla $j$-tej próby,

$b=\frac{df_1}{1-c_1-\frac{df_1}{df-2}}$,

$df_1=\frac{k(k+1)(m-1)}{2}$,

$df_2=\frac{df_1+2}{|c_2-c_1^2|}$,

$k$ - liczba analizowanych zmiennych,

$n=n_1=n_2=...=n_k$ - liczności poszczególnych zmiennych w próbie.

Statystyka ta podlega rozkładowi F Snedecora z $df_1$ i $df_2$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl}
$ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ 	\mathcal{H}_1, \\
$ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\
\end{array}

Uwaga!

Należy pamiętać, że test Box'a jest szczególnie wrażliwy na złamanie założenia normalności rozkładu.

Test Box'a jest wyliczany opcjonalnie w Hotellingu dla grup niezależnych lub w analizie MANOVA.

Przykład c.d. (plik sport.pqs)


Narzędzia witryny