Spis treści

Analizy opisowe

Dane zebrane przez badacza w pierwszej kolejności powinny zostać opisane. W zależności od sposobu dokonywania pomiarów (od skali pomiarowej) do opisu zmiennej użyjemy różnych miar.

Skale pomiarowe

Poprawne określenie rodzaju wykonywanej analizy zależy od skali na jakiej wyrażone są zebrane dane. Wyróżniamy 3 główne skale pomiarowe:

  1. Skala interwałowa (przedziałowa) (ang. interval scale)
    Zmienna jest wyrażona na skali interwałowej, gdy:
    • można ją uporządkować,
    • można obliczyć o ile jeden element jest większy od drugiego i różnica tych elementów ma interpretację w świecie rzeczywistym. Zwykle określona jest jednostka miary.
      Przykład: masa obiektu [kg], powierzchnia obiektu [m], czas [lata], prędkość [km/h] itp.

  2. Skala porządkowa (ang. ordinal scale)
    Zmienna jest wyrażona na skali porządkowej, gdy:
    • można ją uporządkować, czyli ma znaczenie kolejność występowania elementów,
    • nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.
      Przykład: wykształcenie, kolejność zawodników na podium itp.

      Uwaga!
      Jeśli zmienna jest wyrażona na skali porządkowej, to by można było wykonać na niej w sposób prawidłowy obliczenia powinna być zapisana za pomocą liczb. Liczby te to umowne identyfikatory mówiące o kolejności elementów.

  3. Skala nominalna (ang. nominal scale)
    Zmienna jest wyrażona na skali nominalnej, gdy:
    • nie można jej uporządkować, czyli nie istnieje wynikające z natury danego zjawiska uporządkowanie,
    • nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.
      Przykład: płeć, kraj zamieszkania itp.

      Uwaga!
      Jeśli zmienna jest wyrażona na skali nominalnej, to może być zapisana za pomocą etykiet tekstowych. Nawet jeśli wartości zmiennej nominalnej są wyrażane liczbowo, to liczby te są tylko umownymi identyfikatorami, nie można więc wykonywać na nich działań arytmetycznych, ani ich porównywać.

Przed przystąpieniem do analiz zalecane jest przyporządkowanie skali pomiarowej poszczególnym zmiennym. Takie przypisanie spowoduje, że nagłówki zmiennych zyskają odpowiadający danej skali kolor tzn. kolor zielony = skala interwałowa, kolor żółty = skala porządkowa, kolor czerwony = skala nominalna. Kolor zmiennych (a więc ich skala) będzie widoczny w arkuszu danych i na liście zmiennych w oknach analiz.

Przypisania skali do wybranej zmiennej możemy dokonać w oknie opcji zmiennych Kody/Etykiety/Format lub w menu kontekstowym na nagłówku wybranej zmiennej.

Dane ilościowe to wszelkie informacje, które można określić ilościowo, policzyć lub zmierzyć i nadać im wartość liczbową. Do danych ilościowych zaliczamy skalę interwałową i niekiedy również skalę porządkową.

Dane jakościowe mają charakter opisowy, wyrażony raczej w kategoriach językowych niż w wartościach liczbowych. Do danych jakościowych zaliczamy skalę nominalną i niekiedy również skalę porządkową.

Skala porządkowa która ma możliwych wiele zobiektywizowanych kategorii to dane ilościowe np. skala jakości życia SF-36 (od 0 do 100 punktów), ale jeśli kategorii jest tak niewiele, że można je opisać tekstem np. wykształcenie (podstawowe, średnie, wyższe), to są to dane jakościowe.

Tabele

Tabele liczności i rozkłady empiryczne

Podstawą badań statystycznych jest określenie rozkładu empirycznego tzn. zaobserwowanego w próbie rozkładu cechy. Określenie empirycznego rozkładu polega na przyporządkowaniu kolejnym wartościom przyjmowanym przez cechę częstości ich występowania. Rozkład taki można przedstawić w postaci tabeli liczności lub w postaci wykresu (histogramu). Dla małych zbiorów danych tabele liczności mogą prezentować wszystkie dane - tzw. szeregi rozdzielcze punktowe, w przypadku większych zbiorów danych tworzy się tzw. szeregi rozdzielcze przedziałowe.

Aby przedstawić rozkład danych w postaci tabeli należy wyświetlić okno Tabele liczności poprzez wybranie menu Statystyka→Analizy opisowe→Tabele liczności.

W oknie tym wybieramy zmienną do analizy oraz opcje analizy. Wybierając odpowiednie opcje zwrócony wynik możemy posortować traktując zmienne jako wartości tekstowe lub jako liczby. Jeśli występują w analizowanej kolumnie puste komórki, to mogą być wliczane do analizy bądź pomijane. Wynik dokonanej analizy znajdzie się w raporcie dołączonym do arkusza danych, dla których analiza została wykonana.

Dodatkowo, jeśli chcemy by dane zostały zobrazowane za pomocą wykresu kolumnowego lub histogramu, wówczas w oknie Tabel liczności zaznaczamy opcję Dołącz wykres.

Przykład (plik rozkład.pqs)

Pewien operator telefonii komórkowej przeprowadza szereg badań dotyczących wykorzystania przez klientów liczby przyznanych w abonamencie „darmowych minut”. Klienci w każdym miesiącu mogą wykorzystać do 190 takich minut. Badanie przeprowadzono na podstawie losowej próby 200 klientów. Analizowano między innymi informacje o:

- rodzaju wykupionego abonamentu,

- liczby wykorzystanych darmowych minut,

- liczby zarejestrowanych na danego klienta abonamentów (nie dotyczy firm).

Chcemy przedstawić rozkład:

  1. rodzaju abonamentu,
  2. liczby wykorzystanych darmowych minut,
  3. liczby zarejestrowanych abonamentów na osoby prywatne.

Uruchamiamy okno Tabele liczności.

  1. Wybieramy Zmienną do analizy: „rodzaj abonamentu” i zaznaczamy opcję Interpretuj jako wartości tekstowe oraz Dołącz wykres. Następnie potwierdzamy wybrane ustawienia przyciskiem OK i uzyskujemy wynik w postaci raportu:


  2. Wznawiamy analizę przyciskiem . Wybieramy Zmienną do analizy: „liczba wykorzystanych minut” i zaznaczamy opcję Przedziały (klasy), wartość początkową ustawiamy np. na 130 a krok na 5. Możemy również zaznaczyć opcję Dołącz wykres. Następnie wybrane opcje potwierdzamy przyciskiem OK i uzyskujemy wynik w postaci raportu:


  3. Wznawiamy analizę przyciskiem . Ustawiamy filtr tak by analiza była wykonana wyłącznie dla osób prywatnych. Wybieramy Zmienną do analizy: „Liczba abonamentów”. Ponieważ zmienna ta zawiera również braki danych, uzyskany wynik może uwzględniać te braki w analizie lub nie, w zależności od wybranej opcji dotyczącej ignorowania pustych przypadków:

Przykład (plik nawozy.pqs)

Przeprowadzono doświadczenie, w którym badano stan mikrobiologiczny gleby pod uprawą życicy trwałej zasilanej nawozami biologicznie aktywnymi. Gleby nawożono różnymi rodzajami preparatów mikrobiologicznych i nawozów a następnie wyliczono ilość mikroorganizmów występujących w 1 gramie suchej masy gleby. Chcemy znać częstość występowania promieniowców na 1 gram suchej masy gleby nawożonej azotem. Interesuje nas jak często w badanej próbie występowało od 0 do 20 promieniowców, od więcej niż 20 do 40 promieniowców, od więcej niż 40 do 60 promieniowców, itd. Zaznaczamy w arkuszu danych tylko 54 pierwsze wiersze, które odpowiadają założeniom analizy (są to promieniowce nawożone azotem) i uruchamiamy okno Tabele liczności poprzez menu Statystyka→Tabele liczności.

W oknie opcji wybieramy zmienną do analizy: Ilość mikroorganizmów, a następnie ustawiamy przedziały klasowe w ten sposób, by wartością początkową było 0 a krokiem 20. Na górze okna powinien być widoczny komunikat:

Dane ograniczone przez zaznaczenie

Potwierdzamy wybór przyciskiem OK i uzyskujemy wynik w postaci raportu:

2022/01/23 17:48 · admin

Raport tabeli

Przy pomocy raportu tabeli można przygotować jednoczesne podsumowanie bardzo wielu danych w postaci setek tabel dwudzielczych (tabel dwóch cech). Na przykład w postaci tabeli możemy przedstawić rozkład grup wiekowych według miejsca zamieszkania, wykształcenia, itd. Każda tabela jest przedstawiana w postaci liczności w poszczególnych kategoriach oraz dodatkowo można ją podsumować wyliczając procenty z wiersza, z kolumny lub z sumy całkowitej oraz wyznaczyć tabelę liczności oczekiwanych. Ponadto dla takich tabel możliwe jest automatyczne podsumowania w postaci wykresu kolumnowego. Okno z ustawieniami opcji raportu tabel wywołujemy poprzez menu Statystyka→Analizy opisowe→Raport tabeli

Przykład (plik Tabele.pqs)
W postaci tabel należy podsumować rozkład płci według miejsca zamieszkania, warunków socjalno-bytowych, wykształcenia, stanu cywilnego oraz rozkład grup wiekowych względem tych samych cech. W rezultacie uzyskamy po 4 tabele dla każdej pary cech, czyli 8 tabel dla wszystkich par i odpowiadające im wykresy. Poniżej przedstawiono tylko zestawienie względem płci:

Dla rozkładu względem grup wiekowych utworzono najpierw kategorie wiekowe poprzez kody/etykiety/format.

2022/01/23 17:49 · admin

Analizy dla tabel

Analizy dla tabel kontyngencji mogą być wyliczane na podstawie danych zebranych w tabele kontyngencji lub bezpośrednio tzn. na podstawie danych w postaci surowej. Przy czym istnieje możliwość transformacji danych z tabeli kontyngencji do postaci surowej lub odwrotnie.

Przykład (plik płeć-wykształcenie.pqs)

Rozpatrzmy próbę składającą się z 34 osób ($n=34$). Badamy 2 cechy tych osób ($X$=płeć, $Y$=wykształcenie). Płeć występuje w 2 kategoriach ($X_1$=kobieta, $X_2$=mężczyzna) wykształcenie w 3 kategoriach, ($Y_1$= podstawowe + zawodowe $Y_2$=średnie, $Y_3$=wyższe).

W przypadku danych surowych, po otwarciu okna opcji testu np. testu $\chi^2$ dla tabel $C\times R$, zaznaczona będzie automatycznie opcja dane surowe.

W przypadku danych zebranych w tabeli kontyngencji dobrze jest zaznaczyć te dane (wartości liczbowe bez nagłówków) przed uruchomieniem okna testu. Wówczas po otwarciu okna testu zaznaczona będzie automatycznie opcja tabela kontyngencji i dane z zaznaczenia zostaną wyświetlone.

W oknie testu zawsze możemy zmienić automatycznie wykryte ustawienie dotyczące formy organizacji danych, jak też wpisywać z poziomu okna dane do tabeli kontyngencji.

Warunek Cochrana
Jest to podstawowy warunek stosowania wielu testów statystycznych opartych na tabelach kontyngencji np. testu chi-kwadrat. Warunek ten zakłada duże liczności oczekiwane. Według interpretacji Cochrana (1952)1) żadna z liczności oczekiwanych nie może być $<1$ oraz nie więcej niż 20% liczności oczekiwanych może być $<5$. Informacja o spełnieniu (bądź nie spełnieniu) tego warunku przez dane zebrane w tabeli może być zwrócona do raportu.

Podstawowe testy dla tabel kontyngencji:

Współczynniki dla tabel kontyngencji:

W raporcie wynikowym można również umieścić podstawowe podsumowanie tabel:

  • Tabelę kontyngencji liczności obserwowanych $-$ czyli dane w postaci tabeli kontyngencji. Tabela taka przedstawia rozkład obserwacji dla kilku cech (kilku zmiennych). Tabelę dla 2 cech ($X$, $Y$), z których pierwsza ma możliwych $r$ a druga $c$ kategorii przedstawiono poniżej).

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{Liczności}& \multicolumn{5}{|c|}{Cecha Y}\\\cline{3-7} \multicolumn{2}{|c||}{ obserwowane $O_{ij}$} & $Y_1$ & $Y_2$ & ... & $Y_c$ & Suma \\\hline \hline \multirow{5}{*}{Cecha $X$}& $X_1$ & $O_{11}$ & $O_{12}$ & ... & $O_{1c}$& $\sum_{j=1}^cO_{1j}$ \\\cline{2-7} & $X_2$ & $O_{21}$ & $O_{22}$ & ... & $O_{2c}$& $\sum_{j=1}^cO_{2j}$ \\\cline{2-7} & ...& ... & ... & ... & ...& ... \\\cline{2-7} & $X_r$ & $O_{r1}$ & $O_{r2}$ & ... & $O_{rc}$& $\sum_{j=1}^cO_{rj}$ \\\cline{2-7} & Suma & $\sum_{i=1}^rO_{i1}$ & $\sum_{i=1}^rO_{i2}$ & ... & $\sum_{i=1}^rO_{ic}$& $n=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^cO_{ij}$\\\hline \end{tabular}

Liczności obserwowane $O_{ij}$ ($i=1,2,\dots,r;j=1,2,\dots,c$) przedstawiają częstość występowania poszczególnych kategorii dla obu cech.

By tabela taka była zwrócona przez program należy w oknie testu wybrać opcję dołącz analizowane dane.

Dla danych z przykładu tabela kontyngencji liczności obserwowanych przedstawia się następująco:

  • Tabelę kontyngencji liczności oczekiwanych $-$ dla każdej tabeli kontyngencji liczności obserwowanych można utworzyć odpowiadającą jej tabelę liczności oczekiwanych: $E_{ij}$.

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{Liczności }& \multicolumn{4}{|c|}{Cecha Y}\\\cline{3-6} \multicolumn{2}{|c||}{oczekiwane $E_{ij}$} & $Y_1$ & $Y_2$ & ... & $Y_c$ \\\hline \hline \multirow{4}{*}{Cecha $X$}& $X_1$ & $E_{11}$ & $E_{12}$ & ... & $E_{1c}$\\\cline{2-6} & $X_2$ & $E_{21}$ & $E_{22}$ & ... & $E_{2c}$ \\\cline{2-6} & ...& ... & ... & ... & ... \\\cline{2-6} & $X_r$ & $E_{r1}$ & $E_{r2}$ & ... & $E_{rc}$\\\hline \end{tabular}

gdzie:

$E_{11}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i1}\times\sum_{j=1}^cO_{1j}}{n}$, $E_{12}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i2}\times\sum_{j=1}^cO_{1j}}{n}$, $E_{1c}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{ic}\times\sum_{j=1}^cO_{1j}}{n}$

$E_{21}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i1}\times\sum_{j=1}^cO_{2j}}{n}$, $E_{22}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i2}\times\sum_{j=1}^cO_{2j}}{n}$, $E_{2c}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{ic}\times\sum_{j=1}^cO_{2j}}{n}$

$E_{r1}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i1}\times\sum_{j=1}^cO_{rj}}{n}$, $E_{r2}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i2}\times\sum_{j=1}^cO_{rj}}{n}$, $E_{rc}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{ic}\times\sum_{j=1}^cO_{rj}}{n}$.

Dla danych z przykładu tabela kontyngencji liczności oczekiwanych przedstawia się następująco:

  • Tabelę kontyngencji wartości procentowych wyliczanych z sumy kolumn.

Dla danych z przykładu tabela ta przedstawia się następująco:

  • Tabelę kontyngencji wartości procentowych wyliczanych z sumy wierszy.

Dla danych z przykładu tabela ta przedstawia sie następująco:

  • Tabelę kontyngencji wartości procentowych wyliczanych z sumy całkowitej .

Dla danych z przykładu tabela ta przedstawia się następująco:

2022/01/23 17:49 · admin
2022/01/23 17:47 · admin

Statystyka opisowa

Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumowanie zbioru danych poprzez pewne charakterystyki np. poprzez wartość średniej, mediany czy odchylenia standardowego, oraz wyciągnięcie pewnych podstawowych wniosków i uogólnień na temat zbioru.

Aby wyznaczyć statystyki opisowe dla danych zgromadzonych w arkuszu należy wyświetlić okno Statystyki opisowe poprzez wybranie menu Statystyka→Statystyki opisowe.

W oknie tym wybieramy zmienną do analizy oraz opcje analizy i zaznaczamy interesujące nas miary statystyk opisowych. Przy czym zaznaczać można pojedyncze statystyki lub grupy statystyk wybierając przycisk . Dokonany wybór potwierdzamy przyciskiem OK. Wynik dokonanej analizy znajdzie się w raporcie dołączonym do arkusza danych, dla których analiza została wykonana.

Dodatkowo, jeśli chcemy by dane zostały zobrazowane za pomocą wykresu ramka-wąsy, wówczas w oknie Statystyk opisowych zaznaczamy opcję Dołącz wykres.

 

 

Miary położenia

Miary tendencji centralnej

Miary tendencji centralnej są to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Średnia arytmetyczna (ang. arithmetic mean) wyraża się wzorem: \begin{displaymath} \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}, \end{displaymath}

gdzie $x_i$ to kolejne wartości zmiennej a $n$ - liczność próby.

Średnia arytmetyczna jest stosowana dla skali interwałowej. Dla próby przyjmuje się ją oznaczać przez $\overline{x}$ a dla populacji przez $\mu$.

Średnia przycięta (Trimmed mean)- wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna obliczona po usunięciu z próbki zadanego procentu najmniejszych i największych pomiarów np. gdy obcinamy 5% pomiarów, to oznacza, że obcinamy 2.5% największych i 2.5% najmniejszych wartości. Przy czym, gdy uzyskana na podstawie przeliczań liczba pomiarów przeznaczonych do usunięcia nie będzie liczbą całkowitą, wówczas jest ona zaokrąglana w dół do najbliższej całkowitej.

Średnia Winsora (Winsor mean) - wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna obliczona po zastąpieniu odpowiedniego odsetka skrajnych pomiarów wartością najmniejszą i największą jaka pozostała zmniejszonym zbiorze wartości. Jeśli zdecydujemy się na obliczanie średniej Winsora przycinając np. 5% pomiarów, to wówczas te odrzucone 5% zostanie zastąpione wartością najmniejszą i największą wyznaczoną z pozostałych 95% pomiarów. Podobnie jak dla średniej przycinanej, gdy na podstawie przeliczenia procentu wartości przeznaczonych do zamiany na liczbę pomiarów przeznaczonych do zamiany nie uzyskamy liczby całkowitej, wówczas zaokrąglamy w dół do najbliższej całkowitej.

Średnia geometryczna (ang. geometric mean) wyraża się wzorem: \begin{displaymath} \overline{x}_G=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}. \end{displaymath} Średnia ta jest stosowana dla skali interwałowej, gdy zmienna ma rozkład logarytmiczno-normalny (logarytm zmiennej ma rozkład normalny).

Średnia harmoniczna (ang. harmonic mean) wyraża się wzorem: \begin{displaymath} \overline{x}_H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}. \end{displaymath} Średnia ta jest stosowana dla skali interwałowej.

Mediana (ang. median)

W uporządkowanym zbiorze danych mediana jest wartością dzielącą ten zbiór na dwie równe części. Połowa wszystkich obserwacji znajduje się poniżej, a połowa powyżej mediany.

\begin{pspicture}(0,0)(10,10.6) \pscoil[coilaspect=0, coilarm=.1cm, linewidth=0.5pt, coilwidth=.5cm, coilheight=1]{-}(0,4) \rput(0,4.2){min} \rput(0,-.2){max} \psline(-0.35,2)(.35,2) \rput(1.2,2){mediana} \rput(-0.6,2.8){50$\%$} \rput(-0.6,1.2){50$\%$} \end{pspicture}

Mediana może być stosowana w skali interwałowej oraz porządkowej.

Moda (ang. mode)

Moda $-$ jest to wartość, która występuje najczęściej wśród uzyskanych pomiarów. Moda może być stosowana w każdej skali pomiarowej.

2022/01/23 17:58 · admin
Inne miary położenia

kwartyle (ang. quartiles), decyle (ang. deciles), centyle (ang. centiles)

\begin{pspicture}(0,-.2)(4,4.4) \pscoil[coilaspect=0, coilarm=.1cm, linewidth=0.5pt, coilwidth=.5cm, coilheight=1]{-}(0,4) \rput(0,4.2){max} \rput(0,-.2){min} \psline(-0.35,3)(.35,3) \psline(-0.35,2)(.35,2) \psline(-0.35,1)(.35,1) \rput(2.9,3){$C_{75}$ = kwartyl górny = $Q_3$} \rput(2.4,2){$C_{50}$ = mediana = $Q_2$} \rput(2.9,1){$C_{25}$ = kwartyl dolny = $Q_1$} \rput(1,3.5){25$\%$} \rput(1,2.5){25$\%$} \rput(1,1.5){25$\%$} \rput(1,.5){25$\%$} \end{pspicture}

Kwartyle ($Q_1$, $Q_2$, $Q_3$) dzielą uporządkowany szereg na 4 równe części, decyle ($D_i$, $i=1,2,...,9$) na 10 równych części a centyle (percentyle: $C_i$, $i=1,2,...,99$) na 100 równych części. Drugi kwartyl, piąty decyl i pięćdziesiąty centyl są równe medianie. Miary te mogą być stosowane w skali interwałowej oraz porządkowej.

2022/01/23 17:59 · admin
2022/01/23 17:58 · admin

Miary rozproszenia

Znajomość miar tendencji centralnej nie wystarcza do scharakteryzowania struktury zbiorowości statystycznej. Badana grupa może charakteryzować się różnym stopniem zmienności w zakresie badanej cechy. Potrzebne są zatem formuły pozwalające wyznaczyć wartości, które charakteryzują rozrzut danych.

Miary rozproszenia są liczone tylko dla skali interwałowej, ponieważ bazują one na odległościach między punktami.

Rozstęp (ang. range) wyraża się wzorem:

\begin{displaymath} I=\max x_i - \min x_i \label{rozstep}, \end{displaymath}

gdzie $x_i$ to wartości badanej zmiennej

\begin{displaymath} IQR=\textrm{rozstęp kwartylowy}=Q_3-Q_1 \label{rozstepkw}, \end{displaymath}

gdzie $Q_1, Q_3$ to dolny i górny kwartyl.

Rozstępy dla skali percentylowej (decylowej, centylowej). Rozstępy miedzy percentylami to jedna z miar rozproszenia i określa procent wszystkich obserwacji, których wartość znajduje się pomiędzy wybranymi percentylami.

Wariancja (ang. variance) - mierzy stopień rozproszenia pomiarów wokół średniej arytmetycznej

  • wariancja z próby:
    \begin{displaymath} sd^2=\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}, \label{wariancja} \end{displaymath}

gdzie $x_i$ to kolejne wartości zmiennej a $\overline{x}$ to średnia arytmetyczna tych wartości, $n$ - liczność próby.

  • wariancja z populacji:
    \begin{displaymath} \sigma^2=\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}, \label{wariancja} \end{displaymath}

gdzie $x_i$ to kolejne wartości zmiennej a $\mu$ to średnia arytmetyczna tych wartości, $N$ - liczność populacji.

Wariancja jest zawsze dodatnia, ale nie jest wyrażona w tych samych jednostkach co wyniki pomiarów.

Odchylenie standardowe (ang. standard deviation) $-$ mierzy stopień rozproszenia pomiarów wokół średniej arytmetycznej.

  • odchylenie standardowe z próby:
    \begin{displaymath} sd=\sqrt{sd^2}, \label{odch.standard} \end{displaymath}
  • odchylenie standardowe z populacji:
    \begin{displaymath} \sigma=\sqrt{\sigma^2}. \end{displaymath}

Im wyższa wartość odchylenia standardowego lub wariancji, tym bardziej zróżnicowana grupa pod względem badanej cechy.

Uwaga! Odchylenie standardowe z próby jest pewnym przybliżeniem (estymatorem) odchylenia standardowego z populacji. Populacyjna wartość odchylenia standardowego mieści się w pewnym przedziale zawierającym odchylenie standardowe z próby. Przedział ten nazywany jest przedziałem ufności (confidence interval) dla odchylenia standardowego.

Współczynnik zmienności (ang. coefficient of variation)
Współczynnik zmienności podobnie jak odchylenie standardowe pozwala na ocenę stopnia jednorodności badanej zbiorowości. Wyraża się wzorem:
\begin{displaymath} V=\frac{sd}{\overline{x}}100\% , \label{wspzmienn} \end{displaymath}

gdzie $sd$ to odchylenie standardowe, $\overline{x}$ to średnia arytmetyczna.

Jest to wielkość niemianowana. Pozwala on na ocenę zróżnicowania kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy oraz tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech (wyrażonych w różnych jednostkach). Przyjmuje się, że jeżeli współczynnik $V$ nie przekracza 10\%, to cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie nieistotne.

Błędy standardowe (ang. standard errors) - nie są miarami rozproszenia wyników pomiarowych, lecz określają stopień dokładności z jaką możemy określić wartości parametrów populacji na podstawie wyznaczenia ich estymatorów dla próby.

Błąd średniej arytmetycznej (ang. standard error of the mean) wyraża się następującym wzorem: \begin{displaymath} SEM=\textrm{błąd standardowy średniej}=\frac{sd}{\sqrt{n}} \label{sem}. \end{displaymath}

Uwaga! Na podstawie błędu standardowego estymatora z próby można określić przedział ufności dla parametru populacji.

2022/01/23 18:00 · admin

Inne atrybuty rozkładu

Skośność inaczej współczynnik asymetrii (ang. skewness)

Jest to miara, która mówi o tym jak bardzo rozkład danych różni się od rozkładu symetrycznego. Im wartość współczynnika asymetrii jest bliższa zeru, tym bardziej symetrycznie wokół średniej rozkładają się dane. Zwykle wartość tego współczynnika zawiera się w przedziale [-1, 1], chociaż może w przypadku szczególnie dużej asymetrii znaleźć się poza tym przedziałem. Wartości dodatnie świadczą o występowaniu skośności prawostronnej (o dłuższym prawym „ogonie”) wartości ujemne zaś o skośności lewostronnej (o dłuższym lewym „ogonie”). Skośność wyraża się wzorem: \begin{displaymath} A=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i-\overline{x}}{sd}\right)^3, \end{displaymath}

gdzie:

$x_i$ – kolejne wartości zmiennej,

$\overline{x}$, $sd$ – odpowiednio średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe $x_i$,

$n$ – liczność próby.

\begin{tabular}{cc} \begin{pspicture}(0,-.7)(7,3.6) \rput(2.5,3.3){skośność prawostronna} \rput(2.8,2.8){$A>0$} \psline{->}(0,0)(0,3) \psline{->}(0,0)(6.3,0) \psbezier{-}(.2,.2)(.5,.2)(.7,2.3)(1.3,2.5) \psbezier{-}(1.3,2.5)(2,2.5)(3,.2)(5.3,.2) \psline[linestyle=dotted]{-}(2.2,0)(2.2,1.7) \rput(2.55,-.3){Med.} \psline[linestyle=dotted]{-}(1.3,0)(1.3,2.5) \rput(1.3,-.3){Moda} \psline[linestyle=dotted]{-}(3.4,0)(3.4,.7) \rput(3.5,-.3){$\overline{X}$} \rput{90}(-.4,2.7){częstość} \rput(6.1,-.3){x} \end{pspicture} & \begin{pspicture}(0,-.7)(7,3.6) \rput(2.5,3.3){skośność lewostronna} \rput(2.2,2.8){$A<0$} \psline{->}(0,0)(0,3) \psline{->}(0,0)(6.3,0) \psbezier{-}(.2,.2)(2.1,.2)(2.8,2.5)(3.7,2.5) \psbezier{-}(3.7,2.5)(4.2,2.5)(4.8,.2)(5.5,.2) \psline[linestyle=dotted]{-}(2.85,0)(2.85,1.75) \rput(2.7,-.3){Med.} \psline[linestyle=dotted]{-}(3.7,0)(3.7,2.5) \rput(3.9,-.3){Moda} \psline[linestyle=dotted]{-}(1.7,0)(1.7,.7) \rput(1.7,-.3){$\overline{X}$} \rput{90}(-.4,2.7){częstość} \rput(6.1,-.3){x} \end{pspicture} \end{tabular}

Kurtoza inaczej współczynnik koncentracji (ang. kurtosis)

Jest to miara, która mówi o tym jak bardzo rozrzut danych wokół średniej jest zbliżony do rozrzutu tych danych w rozkładzie normalnym. Im wartość kurtozy jest większa od zera, tym badany rozkład jest bardziej smukły niż rozkład normalny a im wartość kurtozy jest mniejsza od zera, tym badany rozkład jest bardziej spłaszczony niż rozkład normalny. Kurtoza wyraża się wzorem: \begin{displaymath} K=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i-\overline{x}}{sd}\right)^4-\frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}, \end{displaymath}

gdzie:

$x_i$ – kolejne wartości zmiennej,

$\overline{x}$, $sd$ – odpowiednio średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe $x_i$,

$n$ – liczność próby.

\begin{pspicture}(0,-.8)(6.5,3.4) \rput(4.0,.7){$K_1<0$} \rput(4.5,2.5){$K_2>0$} \psline{->}(0,0)(0,3) \psline{->}(0,0)(7,0) \psbezier[linestyle=dashed]{-}(.2,.2)(2.2,.8)(2.3,1.4)(3.2,1.5) \psbezier[linestyle=dashed]{-}(3.2,1.5)(4.1,1.4)(4.2,.8)(6.2,.2) \psbezier{-}(.4,.2)(2.4,.6)(2.5,3.0)(3.2,3.1) \psbezier{-}(3.2,3.1)(3.9,3.0)(4.0,.6)(6.0,.2) \psline[linestyle=dotted]{-}(3.2,0)(3.2,3.1) \rput(3.2,-.3){$\overline{X}$} \rput{90}(-.4,2.7){częstość} \rput(6.8,-.3){x} \end{pspicture}

Przykład (plik nawozy.pqs)

W doświadczeniu dotyczącym nawożenia gleby różnymi rodzajami preparatów mikrobiologicznych i nawozów wyliczono ilość mikroorganizmów występujących w 1 gramie suchej masy gleby. Chcemy wyznaczyć statystyki opisowe ilości promieniowców dla próbki nawożonej azotem i zobrazować uzyskane wyniki za pomocą wykresu ramka-wąsy. Zaznaczamy w arkuszu danych tylko 54 pierwsze wiersze, które odpowiadają założeniom analizy (są to promieniowce nawożone azotem) i uruchamiamy okno Statystyki opisowe poprzez menu Statystyka→Statystyki opisowe.

W oknie opcji testu statystyk opisowych wybieramy zmienną do analizy: Ilość mikroorganizmów, a następnie procedury jakie chcemy wykonać (np. średnią arytmetyczną wraz z przedziałem ufności, medianę, odchylenie standardowe wraz z przedziałem ufności oraz informacje o skośności i kurtozie rozkładu wraz z błędami). Na górze okna powinien być widoczny komunikat:

Dane ograniczone przez zaznaczenie

By w raporcie znalazł się również wykres, zaznaczamy opcję Dołącz wykres i wybieramy interesujący nas rodzaj wykresu ramka-wąsy. Potwierdzamy wybór przyciskiem OK i uzyskujemy wynik w postaci raportu:

2022/01/23 18:00 · admin
2022/01/23 17:57 · admin
1)
Cochran W.G. (1952), The chi-square goodness-of-fit test. Annals of Mathematical Statistics, 23, 315-345