PQStat - Baza Wiedzy

Test Wilcoxona (rangowanych znaków)

Test Wilcoxona rangowanych znaków (ang. Wilcoxon signed-ranks test) znany również pod nazwą testu Wilcoxona dla pojedynczej próby, Wilcoxon (1945, 1949)¹⁾. Test ten służy do weryfikacji hipotezy, że badana próba pochodzi z populacji, dla której mediana ( $\theta$ ) to znana wartość.

Podstawowe warunki stosowania:

pomiar na skali porządkowej lub interwałowej.

Hipotezy dotyczą równości sumy rang dodatnich i ujemnych lub są upraszczane do median:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta=\theta_0,\\ \mathcal{H}_1: & \theta\neq \theta_0. \end{array}$

gdzie:

$\theta$ - mediana badanej cechy w populacji reprezentowanej przez badaną próbę,

$\theta_0$ - zadana wartość.

Wyznaczamy wartość statystyki testowej $Z$ ( $T$ - dla małej liczności próby), a na jej podstawie wartość $p$ .

Porównujemy wartość $p$ z poziomem istotności $\alpha$ :

$\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \end{array}$

Uwaga!

W zależności od wielkości próby statystyka testowa przyjmuje inną postać:

dla małej liczności próby
$\begin{displaymath} T=\min\left(\sum R_-,\sum R_+\right), \end{displaymath}$

gdzie: $\sum R_+$ i $\sum R_-$ to odpowiednio: suma rang dodatnich i suma rang ujemnych.

Statystyka ta podlega rozkładowi Wilcoxona

dla próby o dużej liczności
$\begin{displaymath} Z=\frac{T-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}, \end{displaymath}$

gdzie: $n$ - liczba rangowanych znaków (liczba rang),
$t$ - liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej.

Wzór na statystykę testową $Z$ zawiera poprawkę na rangi wiązane. Poprawka ta powinna być stosowana, gdy rangi wiązane występują (gdy nie ma rang wiązanych poprawka ta nie jest wyliczana, gdyż wówczas $\left(\sum t^3-\sum t\right)/48=0$ .

Statystyka $Z$ ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Poprawka na ciągłość testu Wilcoxona (Marascuilo and McSweeney (1977)²⁾)

Poprawkę na ciągłość stosujemy by zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych zgodnie z założeniem rozkładu normalnego. Wzór na statystykę testową z poprawką na ciągłość wyraża się wtedy wzorem:
$\begin{displaymath} Z=\frac{\left|T-\frac{n(n+1)}{4}\right|-0.5}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}. \end{displaymath}$

Standaryzowana wielkość efektu

Rozkład statystyki testu Wilcoxona jest aproksymowany przez rozkłady normalny, który można przekształcić na wielkość efektu $r=\left|Z/n\right|$ ³⁾ by następnie uzyskać wartość d-Cohena zgodnie ze standardową konwersją stosowaną przy meta-analizach:

$\begin{displaymath} d=\frac{2r}{\sqrt{1-r^2}} \end{displaymath}$

Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi, określonymi przez Cohena ⁴⁾ wskazówkami definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.

Okno z ustawieniami opcji testu Wilcoxona (rangowanych znaków) wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→Wilcoxon (rangowanych znaków) lub poprzez ''Kreator''.

Przykład (plik kurier.pqs) c.d

Hipotezy:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $mediana liczba dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę $\\ &$kurierską wynosi 3$\\ \mathcal{H}_1: & $mediana liczba dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę $\\ &$kurierską jest różna od 3$ \end{array}$

Porównując wartość $p= 0.123212$ testu Wilcoxona opartego o statystykę $T$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że nie mamy podstaw by odrzucić hipotezę zerową mówiącą, że zwykle liczba dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę kurierską wynosi 3. Taką samą decyzję podjęlibyśmy również na podstawie wartości $p=0.111161$ lub $p=0.115817$ testu Wilcoxona opartego o statystykę $Z$ lub $Z$ z poprawką na ciągłość.

¹⁾

Wilcoxon F. (1945), Individual comparisons by ranking methods. Biometries 1, 80-83

²⁾

Marascuilo L.A. and McSweeney M. (1977), Nonparametric and distribution-free method for the social sciences. Monterey, CA: Brooks Cole Publishing Company

³⁾

Fritz C.O., Morris P.E., Richler J.J.(2012), Effect size estimates: Current use, calculations, and interpretation. Journal of Experimental Psychology: General., 141(1):2–18.

⁴⁾

Cohen J. (1988), Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, New Jersey

PQStat - Baza Wiedzy

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Pasek boczny

Test Wilcoxona (rangowanych znaków)

Narzędzia strony