PQStat - Baza Wiedzy

Test chi-kwadrat zgodności

Test $\chi^2$ zgodności (dobroci dopasowania) (ang. Chi-square goodnes-of-fit test) nazywany jest również testem $\chi^2$ dla pojedynczej próby, przeznaczony jest do testowania zgodności wartości obserwowanych dla $r$ ( $r>=2$ ) kategorii $X_1, X_2,..., X_r$ jednej cechy $X$ z hipotetycznymi wartościami oczekiwanymi dla tej cechy. Wartości wszystkich $n$ pomiarów należy zebrać w postaci tabeli składającej się z $r$ wierszy (kategorii: $X_1, X_2, ..., X_r$ ). Dla każdej kategorii $X_i$ zapisuje się częstość jej występowania $O_i$ , oraz częstość dla niej oczekiwaną $E_i$ lub prawdopodobieństwo jej wystąpienia $p_i$ . Częstość oczekiwana jest wyznaczana jako iloczyn $E_i=np_i$ .
Utworzona tabela może przyjąć jedną z poniższych postaci:

$\begin{tabular}[t]{c@{\hspace{1cm}}c} \begin{tabular}{c|c c} Kategorie $X_i$ & $O_i$ & $E_i$ \\\hline $X_1$ & $O_1$ & $E_i$ \\ $X_2$ & $O_2$ & $E_2$ \\ ... & ... & ...\\ $X_r$ & $O_r$ & $E_r$ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c|c c} Kategorie $X_i$ & $O_i$ & $p_i$ \\\hline $X_1$ & $O_1$ & $p_1$ \\ $X_2$ & $O_2$ & $p_2$ \\ ... & ... & ...\\ $X_r$ & $O_r$ & $p_r$ \\ \end{tabular} \end{tabular}$

Podstawowe warunki stosowania:

pomiar na skali nominalnej - ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę,
duże liczności oczekiwane według interpretacji Cochrana (1952)¹⁾,
suma liczności obserwowanych powinna być taka sama jak suma liczności oczekiwanych, a suma wszystkich prawdopodobieństw $p_i$ powinna wynosić 1.

Hipotezy:

$\mathcal{H}_0 : O_i=E_i$ dla wszystkich kategorii,
$\mathcal{H}_1 : O_i \neq E_i$ dla przynajmniej jednej kategorii.

Statystyka testowa ma postać: $\begin{displaymath} \chi^2=\sum_{i=1}^r\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}. \end{displaymath}$ Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności oczekiwanych) rozkład chi-kwadrat z liczbą stopni swobody wyznaczaną według wzoru: $df=(r-1)$ .
Wyznaczoną na podstawie wartości statystyki i rozkładu $\chi^2$ wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$ :

$\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \end{array}$

Okno z ustawieniami opcji testu Chi-kwadrat zgodności wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→Chi-kwadrat lub poprzez ''Kreator''.

Przykład (plik obiady.pqs)

Chcielibyśmy się dowiedzieć, czy liczba wydawanych obiadów w kolejnych dniach tygodnia (od poniedziałku do piątku) w pewnej szkolnej stołówce jest statystycznie taka sama. W tym celu pobrano tygodniową próbę i zapisano dla niej liczbę wydanych obiadów w poszczególnych dniach: poniedziałek - 33, wtorek - 29, środa - 32, czwartek - 36, piątek - 20.}

Łącznie przez cały tydzień (5 dni) wydano 150 obiadów. Zakładamy, że w każdy dzień prawdopodobieństwo wydania obiadu jest takie samo, czyli wynosi $\frac{1}{5}$ . Oczekiwana liczba wydanych obiadów dla każdego z pięciu dni tygodnia wynosi więc $E_i=150\cdot\frac{1}{5}=30$ .

Postawiono hipotezy:

$\begin{array}{p{0.15\linewidth} p{0.8\linewidth}} $\mathcal{H}_0:$ & liczba wydawanych obiadów w badanej stołówce szkolnej w kolejnych dniach tygodnia jest zgodna z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w tych dniach\\ $\mathcal{H}_1:$ & liczba wydawanych obiadów w badanej stołówce szkolnej w kolejnych dniach tygodnia nie jest zgodna z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w tych dniach\\ \end{array}$

Wartość $p$ z rozkładu $\chi^2$ dla 4 stopni swobody wynosi 0.287297. Zatem na poziomie istotności $\alpha=0.05$ możemy powiedzieć, że nie mamy podstaw, aby odrzucić hipotezę zerową mówiącą o zgodności liczby wydawanych obiadów z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w poszczególnych dniach.

Uwaga!

Gdybyśmy chcieli w ramach jednego badania dokonać większej liczby porównań, moglibyśmy zastosować poprawkę Bonferroniego ²⁾ lub inną z poprawek opisanych w dziale Wielokrotne porównania. Ta poprawka jest używana by ograniczyć wielkość popełnionego błędu pierwszego rodzaju, gdy porównujemy wartości obserwowane i oczekiwane pomiędzy wybranymi dniami np:

Pt $\Longleftrightarrow$ Pn,

Pt $\Longleftrightarrow$ Wt,

Pt $\Longleftrightarrow$ Śr,

Pt $\Longleftrightarrow$ Czw,

przy założeniu, że porównania wykonujemy niezależnie. Poziom istotności $\alpha$ dla każdego porównania wyznaczamy zgodnie z tą poprawką według wzoru: $\alpha=\frac{0.05}{r}$ , gdzie $r$ to liczba wykonywanych porównań. Poziom istotności dla pojedynczego porównania zgodnie z poprawką Bonferroniego wynosi dla naszego przykładu $\alpha=\frac{0.05}{4}=0.0125$ .

Należy jednak pamiętać, że redukując $\alpha$ dla każdego porównania zmniejszamy również moc testu.

¹⁾

Cochran W.G. (1952), The chi-square goodness-of-fit test. Annals of Mathematical Statistics, 23, 315-345

²⁾

Abdi H. (2007), Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons, in N.J. Salkind (ed.): Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks, CA: Sage

PQStat - Baza Wiedzy

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Pasek boczny

Test chi-kwadrat zgodności

Narzędzia strony