Analizy dla tabel

Analizy dla tabel kontyngencji mogą być wyliczane na podstawie danych zebranych w tabele kontyngencji lub bezpośrednio tzn. na podstawie danych w postaci surowej. Przy czym istnieje możliwość transformacji danych z tabeli kontyngencji do postaci surowej lub odwrotnie.

Przykład (plik płeć-wykształcenie.pqs)

Rozpatrzmy próbę składającą się z 34 osób ($n=34$). Badamy 2 cechy tych osób ($X$=płeć, $Y$=wykształcenie). Płeć występuje w 2 kategoriach ($X_1$=kobieta, $X_2$=mężczyzna) wykształcenie w 3 kategoriach, ($Y_1$= podstawowe + zawodowe $Y_2$=średnie, $Y_3$=wyższe).

W przypadku danych surowych, po otwarciu okna opcji testu np. testu $\chi^2$ dla tabel $C\times R$, zaznaczona będzie automatycznie opcja dane surowe.

W przypadku danych zebranych w tabeli kontyngencji dobrze jest zaznaczyć te dane (wartości liczbowe bez nagłówków) przed uruchomieniem okna testu. Wówczas po otwarciu okna testu zaznaczona będzie automatycznie opcja tabela kontyngencji i dane z zaznaczenia zostaną wyświetlone.

W oknie testu zawsze możemy zmienić automatycznie wykryte ustawienie dotyczące formy organizacji danych, jak też wpisywać z poziomu okna dane do tabeli kontyngencji.

Warunek Cochrana
Jest to podstawowy warunek stosowania wielu testów statystycznych opartych na tabelach kontyngencji np. testu chi-kwadrat. Warunek ten zakłada duże liczności oczekiwane. Według interpretacji Cochrana (1952)1) żadna z liczności oczekiwanych nie może być $<1$ oraz nie więcej niż 20% liczności oczekiwanych może być $<5$. Informacja o spełnieniu (bądź nie spełnieniu) tego warunku przez dane zebrane w tabeli może być zwrócona do raportu.

Podstawowe testy dla tabel kontyngencji:

Współczynniki dla tabel kontyngencji:

W raporcie wynikowym można również umieścić podstawowe podsumowanie tabel:

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{Liczności}& \multicolumn{5}{|c|}{Cecha Y}\\\cline{3-7} \multicolumn{2}{|c||}{ obserwowane $O_{ij}$} & $Y_1$ & $Y_2$ & ... & $Y_c$ & Suma \\\hline \hline \multirow{5}{*}{Cecha $X$}& $X_1$ & $O_{11}$ & $O_{12}$ & ... & $O_{1c}$& $\sum_{j=1}^cO_{1j}$ \\\cline{2-7} & $X_2$ & $O_{21}$ & $O_{22}$ & ... & $O_{2c}$& $\sum_{j=1}^cO_{2j}$ \\\cline{2-7} & ...& ... & ... & ... & ...& ... \\\cline{2-7} & $X_r$ & $O_{r1}$ & $O_{r2}$ & ... & $O_{rc}$& $\sum_{j=1}^cO_{rj}$ \\\cline{2-7} & Suma & $\sum_{i=1}^rO_{i1}$ & $\sum_{i=1}^rO_{i2}$ & ... & $\sum_{i=1}^rO_{ic}$& $n=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^cO_{ij}$\\\hline \end{tabular}

Liczności obserwowane $O_{ij}$ ($i=1,2,\dots,r;j=1,2,\dots,c$) przedstawiają częstość występowania poszczególnych kategorii dla obu cech.

By tabela taka była zwrócona przez program należy w oknie testu wybrać opcję dołącz analizowane dane.

Dla danych z przykładu tabela kontyngencji liczności obserwowanych przedstawia się następująco:

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{Liczności }& \multicolumn{4}{|c|}{Cecha Y}\\\cline{3-6} \multicolumn{2}{|c||}{oczekiwane $E_{ij}$} & $Y_1$ & $Y_2$ & ... & $Y_c$ \\\hline \hline \multirow{4}{*}{Cecha $X$}& $X_1$ & $E_{11}$ & $E_{12}$ & ... & $E_{1c}$\\\cline{2-6} & $X_2$ & $E_{21}$ & $E_{22}$ & ... & $E_{2c}$ \\\cline{2-6} & ...& ... & ... & ... & ... \\\cline{2-6} & $X_r$ & $E_{r1}$ & $E_{r2}$ & ... & $E_{rc}$\\\hline \end{tabular}

gdzie:

$E_{11}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i1}\times\sum_{j=1}^cO_{1j}}{n}$, $E_{12}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i2}\times\sum_{j=1}^cO_{1j}}{n}$, $E_{1c}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{ic}\times\sum_{j=1}^cO_{1j}}{n}$

$E_{21}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i1}\times\sum_{j=1}^cO_{2j}}{n}$, $E_{22}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i2}\times\sum_{j=1}^cO_{2j}}{n}$, $E_{2c}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{ic}\times\sum_{j=1}^cO_{2j}}{n}$

$E_{r1}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i1}\times\sum_{j=1}^cO_{rj}}{n}$, $E_{r2}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{i2}\times\sum_{j=1}^cO_{rj}}{n}$, $E_{rc}=\frac{\sum_{i=1}^rO_{ic}\times\sum_{j=1}^cO_{rj}}{n}$.

Dla danych z przykładu tabela kontyngencji liczności oczekiwanych przedstawia się następująco:

Dla danych z przykładu tabela ta przedstawia się następująco:

Dla danych z przykładu tabela ta przedstawia sie następująco:

Dla danych z przykładu tabela ta przedstawia się następująco:

1)
Cochran W.G. (1952), The chi-square goodness-of-fit test. Annals of Mathematical Statistics, 23, 315-345