pl:statpqpl:porown2grpl:parpl:t

Test t-Studenta dla grup niezależnych

Test $t$ -Studenta dla grup niezależnych (ang. t test for independent groups) służy do weryfikacji hipotezy o równości średnich badanej zmiennej w dwóch populacjach.

Podstawowe warunki stosowania:

pomiar na skali interwałowej,
normalność rozkładu badanej zmiennej w obu populacjach,
model niezależny,
równość wariancji badanej zmiennej obu populacji.

Hipotezy:

$\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \mu_1=\mu_2,\\ \mathcal{H}_1: & \mu_1\ne\mu_2. \end{array}$

gdzie:

$\mu_1$ , $\mu_2$ $-$ średnie badanej zmiennej w pierwszej i drugiej populacji.

Statystyka testowa ma postać:

$\begin{displaymath} t=\frac{\displaystyle{\overline{x}_1-\overline{x}_2}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$\overline{x}_1, \overline{x}_2$ $-$ średnie w pierwszej i drugiej próbie,

$n_1, n_2$ $-$ liczności w pierwszej i drugiej próbie,

$sd_1^2, sd_2^2$ $-$ wariancje w pierwszej i drugiej próbie.

Statystyka testowa ma rozkład t-Studenta z $df=n_1+n_2-2$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$ :

$\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}$

Uwaga!

wspólne odchylenie standardowe wyraża się wzorem:

$\begin{displaymath} SD_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}}, \end{displaymath}$

błąd standardowy różnicy średnich wyraża się wzorem:

$\begin{displaymath} SE_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}=\displaystyle{\sqrt{\frac{(n_1-1)sd_1^2+(n_2-1)sd_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}. \end{displaymath}$

Standaryzowana wielkość efektu

Współczynnik d-Cohena określa jak dużą częścią występującej zmienności jest różnica między średnimi.

$\begin{displaymath} d=\left|\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{SD_p}\right| \end{displaymath}$

Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi, określonymi przez Cohena ¹⁾ wskazówkami definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.

Okno z ustawieniami opcji testu t-Studenta dla grup niezależnych wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy parametryczne→t-Student dla grup niezależnych lub poprzez ''Kreator''.

Gdy w oknie testu w opcji dotyczącej wariancji wybierzemy:

równe, wówczas zostanie wyliczony test $t$ -Studenta dla grup niezależnych,
różne, wówczas zostanie wyliczony test $t$ -Studenta z korektą Cochrana-Coxa,
sprawdź równość, wówczas zostanie wyliczony test Fishera-Snedecora a na podstawie jego wyniku i ustawionego poziomu istotności zostanie wybrany i wyliczony test t-Studenta dla grup niezależnych z bądź bez poprawki Cochrana-Coxa.

Uwaga!

Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych tzn. średnich arytmetycznych, odchyleniach standardowych i liczności prób.

Przykład (plik choloesterol.pqs)

Z populacji kobiet i z populacji mężczyzn w wieku powyżej 40 roku życia wylosowano po 500 osób. Badanie dotyczyło oceny ryzyka chorób sercowo-naczyniowych. Wśród badanych parametrów znajduje się wartość cholesterolu całkowitego. Celem tego badania będzie porównanie mężczyzn i kobiet co do tej wartości. Chcemy bowiem wykazać, że te populacje różnią się już na poziomie cholesterolu całkowitego a nie tylko w obrębie cholesterolu rozbitego na frakcje.

Rozkład poziomu cholesterolu całkowitego w obu populacjach jest rozkładem normalnym (zostało to sprawdzone testem Lillieforsa). Średnia wartość cholesterolu w grupie mężczyzn wyniosła $\overline{x}_1=201.1$ a odchylenie standardowe $sd_1=47.6$ , w grupie kobiet odpowiednio $\overline{x}_2=191.5$ i $sd_2=43.5$ . Test Fishera-Snedecora wskazuje na niewielkie lecz istotne statystycznie ( $p=0.0434$ ) różnice w wariancjach. W analizie zastosowany zostanie test t-Studenta z poprawką Cochrana-Coxa.

Hipotezy:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $średni cholesterol całkowity populacji kobiet jest równy$\\ &$średniemu cholesterolowi całkowitemu populacji mężczyzn,$\\ \mathcal{H}_1: & $średni cholesterol całkowity populacji kobiet jest różny$ \\ &$od średniego cholesterolu całkowitego populacji mężczyzn.$ \end{array}$

Porównując wartość $p=0.0009$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że kobiety i mężczyźni w Polsce różnią się istotnie statystycznie wartością cholesterolu całkowitego. Przeciętny Polak, który ukończył 40 rok życia ma wyższy cholesterol całkowity od przeciętnej Polki prawie o 10 jednostek.

¹⁾

Cohen J. (1988), Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, New Jersey