Istotność współczynnika korelacji Spearmana

Test t do sprawdzania istotności współczynnika korelacji rangowej Spearmana (ang. Test of significance for Spearman's rank-order correlation coefficient) służy do weryfikacji hipotezy o braku zależności monotonicznej pomiędzy badanymi cechami populacji i opiera się na współczynniku korelacji rangowej Spearmana wyliczonym dla próby. Im wartość współczynnika Spearmana ($r_s$) jest bliższa 0, tym słabszą zależnością monotoniczną związane są badane cechy.

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:

\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & R_s = 0, \\ \mathcal{H}_1: & R_s \ne 0. \end{array}

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath} t=\frac{r_s}{SE}, \end{displaymath} gdzie $\displaystyle SE=\sqrt{\frac{1-r_s^2}{n-2}}$.

Wartość statystyki testowej nie może być wyznaczona gdy $r_s=1$ lub $r_s=-1$ albo, gdy $n<3$.

Statystyka testowa ma rozkład t-Studenta z $n-2$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Okno z ustawieniami opcji zależności monotonicznej Spearmana wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→zależność monotoniczna (r-Spearmana) lub poprzez ''Kreator''.

Przykład (plik: LDL tygodnie.pqs)

Badano skuteczność nowej terapii, której celem jest obniżenie poziomu cholesterolu we frakcji LDL. Przebadano 88 osób na różnym etapie kuracji. Sprawdzimy, czy wraz z upływem czasu stosowania kuracji (czas w tygodniach) poziom cholesterolu LDL spada i się stabilizuje.

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $ W populacji nie istnieje zależność monotoniczna pomiędzy czasem kuracji a poziomem LDL,$\\ \mathcal{H}_1: & $ W populacji istnieje zależność monotoniczna pomiędzy czasem kuracji a poziomem LDL.$ \end{array} $

Porównując wartość $p$<0.0001 z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że istnieje ważna statystycznie monotoniczna zależność pomiędzy czasem kuracji a poziomem LDL. Zależność ta jest początkowo malejąca, a po 150 tygodniach zaczyna się stabilizować. Współczynnik korelacji monotonicznej Spearmana, a zatem siła związku monotonicznego dla tej zależności jest dość wysoki i wynosi $r_s$=-0.7806. Wykres wyrysowano dopasowując krzywą poprzez lokalne techniki wygładzania liniowego typu LOWESS.