ANOVA Durbina (brakujących danych)

Analiza wariancji powtarzanych pomiarów dla rang Durbina została zaproponowana przez Durbina (1951)1). Test ten stosuje się w sytuacji, gdy pomiarów badanej zmiennej dokonujemy kilkukrotnie - czyli w podobnej sytuacji w jakiej stosowana jest ANOVA Friedmana. Oryginalny test Durbina i test Friedmana dają ten sam wynik w sytuacji, gdy dysponujemy kompletnym zestawem danych. Test Durbina ma jednak pewną przewagę - można go również wyliczać dla niekompletnego zestawu danych. Przy czym braki danych nie mogą być zlokalizowane dowolnie, ale dane muszą tworzyć tzw. zbalansowany i niekompletny blok, czyli:

gdzie:

$t$ - łączna liczba rozpatrywanych pomiarów,

$b$ - łączna liczba badanych obiektów

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy dotyczą równości sumy rang dla kolejnych pomiarów ($R_{j}$) lub są upraszczane do median ($\theta_j$):

\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta_1=\theta_2=...=\theta_t,\\ \mathcal{H}_1: & $nie wszystkie $\theta_j$ są sobie równe $(j=1,2,...,t)$$, \end{array}

Wyznacza się dwie statystyki testowe o następującej postaci:

\begin{displaymath} T_1=\frac{(t-1)\left[\sum_{j=1}^tR_j^2-tC\right]}{A-C}, \end{displaymath}

\begin{displaymath} T_2=\frac{T_1/(t-1)}{(b(k-1)-T_1)/(bk-b-t+1)}, \end{displaymath}

gdzie:

$R_{j}$ - suma rang dla kolejnych pomiarów $(j=1,2,...t)$,

$R_{ij}$ - rangi przypisane kolejnym pomiarom, oddzielnie dla każdego z badanych obiektów $(i=1,2,...b)$,

$\displaystyle A=\sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^tR_{ij}^2$ $-$ suma kwadratów dla rang,

$\displaystyle C=\frac{bk(k+1)^2}{4}$ $-$ współczynnik korekcji.

Wzór na statystykę $T_1$ i $T_2$ zawiera poprawkę na rangi wiązane.

W przypadku danych kompletnych statystyka $T_1$ jest tożsama z testem Friedmana. Ma ona asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład chi-kwadrat z $df=t - 1$ stopniami swobody.

Statystyka $T_2$ to odpowiednik korekty Iman-Davenport ANOVA Friedmana, więc podlega rozkładowi F Snedecora z $df_1=t-1$ i $df_2=bk-b-t+1$ stopniami swobody. Uznaje się ją obecnie za bardziej precyzyjną niż statystykę $T_1$ i rekomenduje jej stosowanie2).

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Testy POST-HOC

Wprowadzenie do kontrastów i testów POST-HOC przeprowadzone zostało w rozdziale dotyczącym jednoczynnikowej analizy wariancji.

Test Conover-Inman

Stosowany dla porównań prostych (liczność w poszczególnych pomiarach zawsze jest taka sama).

Hipotezy:

Przykład - porównania proste (porównanie pomiędzy sobą 2 wybranych median / sum rang):

\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \theta_j=\theta_{j+1},\\ \mathcal{H}_1: & \theta_j \neq \theta_{j+1}. \end{array}

\begin{displaymath} NIR=t_{1-\alpha /2, bk-b-t+1}\sqrt{\frac{(A-C)2r}{bk-b-t+1}\left(1-\frac{T_1}{b(k-1)}\right)}, \end{displaymath}

gdzie:

$t_{1-\alpha /2, bk-b-t+1}$ - to wartość krytyczna (statystyka) rozkładu t-Studenta dla poziomu istotności $\alpha$ i $df=bk-b-t+1$ stopni swobody.

\begin{displaymath} t=\frac{\sum_{j=1}^k c_jR_j}{\sqrt{\frac{(A-C)2r}{bk-b-t+1}\left(1-\frac{T_1}{b(k-1)}\right)}}, \end{displaymath}

Statystyka ta podlega rozkładowi t-Studenta z $df=bk-b-t+1$ stopniami swobody.

Okno z ustawieniami opcji ANOVA Durbina wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→ANOVA Friedmana (możliwość braków danych) lub poprzez Kreator.

Uwaga!

By rekordy w których występują braki danych były brane pod uwagę wymagane jest zaznaczenie opcji Akceptuj braki danych. Jako braki danych traktowane są puste komórki oraz komórki o wartościach nieliczbowych. W analizie biorą udział tylko rekordy zawierające więcej niż jedną wartość liczbową.

Przykład (plik mirror.pqs)

Przeprowadzono eksperyment wśród 20 pacjentów szpitala psychiatrycznego (Ogilvie 1965 3)). Eksperyment ten polegał na odrysowaniu linii prostych według zaprezentowanego wzoru. Wzór przedstawiał 5 linii rysowanych pod różnym kątem ($0^o, 22.5^o, 45^o, 67.5^o, 90^o$) względem wskazanego środka. Zadaniem pacjentów było odwzorowanie linii mając zasłoniętą dłoń. Jako wynik eksperymentu zapisano czas w jakim pacjent kreślił daną linię. W idealnym przypadku każdy pacjent kreśliłby linię pod każdym kątem, jednak upływający czas i zmęczenie miałyby znaczny wpływ na wydajność pracy. Ponadto trudno jest utrzymać zainteresowanie pacjenta i chęć współpracy przez dłuższy czas. W związku z tym projekt zaplanowano i przeprowadzono w zbalansowanych i niekompletnych blokach. Każdy z 20 pacjentów wyrysowywał linię pod dwoma kontami (możliwych kątów było pięć). W ten sposób każdy kąt wyrysowywany był ośmiokrotnie. Czas w jakim każdy pacjent wyrysowywał linię pod zadanym kątem zapisano w tabeli.

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline nr pacjenta &$0^o$&$22.5^o$&$45^o$&$67.5^o$&$90^o$\\\hline 1&7&15&&&\\ 2&20&&72&&\\ 3&8&&&26&\\ 4&33&&&&36\\ 5&7&16&&&\\ 6&&68&67&&\\ 7&&33&&64&\\ 8&&34&&&12\\ 9&10&&96&&\\ 10&&29&59&&\\ 11&&&17&9&\\ 12&&&100&&15\\ 13&16&&&32&\\ 14&&19&&32&\\ 15&&&36&39&\\ 16&&&&44&54\\ 17&16&&&&38\\ 18&&17&&&12\\ 19&&&37&&11\\ 20&&&&56&6\\ \hline \end{tabular}

Chcemy sprawdzić, czy czas jaki został poświęcony na wyrysowanie poszczególnych linii jest zupełnie losowy, czy też są linie, których wyrysowywanie zajęło więcej lub mniej czasu.

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $brak jest istotnej różnicy pomiędzy czasem poświęconym na $\\ & $wyrysowanie poszczególnych linii przez pacjentów, $\\ \mathcal{H}_1: & $przynajmniej jedna linia rysowana jest w czasie krótszym/dłuższym.$ \end{array} $

Porównując wartość $p=0,014541$ dla statystyki $T_2$ (lub wartość $p=0.034203$ dla statystyki $T_1$) z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że linie nie są rysowane w tym samym czasie. Wykonana analiza POST-HOC wskazuje na różnice czasu poświęconego na narysowanie linii pod kątem $0^o$. Jest ona rysowana szybciej niż linie pod kątem $22.5^o$, $45^o$ oraz $67.5^o$.

Na wykresie zaznaczono grupy jednorodne wskazane przez test post-hoc.

1)
Durbin J. (1951), Incomplete blocks in ranking experiments. British Journal of Statistical Psychology, 4: 85–90
2)
Conover W. J. (1999), Practical nonparametric statistics (3rd ed). John Wiley and Sons, New York
3)
Ogilvie J. C. (1965), Paired comparison models with tests for interaction. Biometrics 21(3): 651-64