Spis treści

Testy nieparametryczne

 

Test Wilcoxona (rangowanych znaków)

Test Wilcoxona rangowanych znaków (ang. Wilcoxon signed-ranks test) znany również pod nazwą testu Wilcoxona dla pojedynczej próby, Wilcoxon (1945, 1949)1). Test ten służy do weryfikacji hipotezy, że badana próba pochodzi z populacji, dla której mediana ($\theta$) to znana wartość.

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy dotyczą równości sumy rang dodatnich i ujemnych lub są upraszczane do median:

\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta=\theta_0,\\ \mathcal{H}_1: & \theta\neq \theta_0. \end{array}

gdzie:

$\theta$ - mediana badanej cechy w populacji reprezentowanej przez badaną próbę,

$\theta_0$ - zadana wartość.

Wyznaczamy wartość statystyki testowej $Z$ ($T$ - dla małej liczności próby), a na jej podstawie wartość $p$.

Porównujemy wartość $p$ z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \end{array}

Uwaga!

W zależności od wielkości próby statystyka testowa przyjmuje inną postać:

  • dla małej liczności próby
    \begin{displaymath} T=\min\left(\sum R_-,\sum R_+\right), \end{displaymath}


gdzie: $\sum R_+$ i $\sum R_-$ to odpowiednio: suma rang dodatnich i suma rang ujemnych.


Statystyka ta podlega rozkładowi Wilcoxona

  • dla próby o dużej liczności
    \begin{displaymath} Z=\frac{T-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}, \end{displaymath}


gdzie: $n$ - liczba rangowanych znaków (liczba rang),
$t$ - liczba przypadków wchodzących w skład rangi wiązanej.

Wzór na statystykę testową $Z$ zawiera poprawkę na rangi wiązane. Poprawka ta powinna być stosowana, gdy rangi wiązane występują (gdy nie ma rang wiązanych poprawka ta nie jest wyliczana, gdyż wówczas $\left(\sum t^3-\sum t\right)/48=0$.

Statystyka $Z$ ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Poprawka na ciągłość testu Wilcoxona (Marascuilo and McSweeney (1977)2))

Poprawkę na ciągłość stosujemy by zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych zgodnie z założeniem rozkładu normalnego. Wzór na statystykę testową z poprawką na ciągłość wyraża się wtedy wzorem:
\begin{displaymath} Z=\frac{\left|T-\frac{n(n+1)}{4}\right|-0.5}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum t^3-\sum t}{48}}}. \end{displaymath}

Standaryzowana wielkość efektu

Rozkład statystyki testu Wilcoxona jest aproksymowany przez rozkłady normalny, który można przekształcić na wielkość efektu $r=\left|Z/n\right|$ 3) by następnie uzyskać wartość d-Cohena zgodnie ze standardową konwersją stosowaną przy meta-analizach:

\begin{displaymath} d=\frac{2r}{\sqrt{1-r^2}} \end{displaymath}

Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi, określonymi przez Cohena 4) wskazówkami definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.

Okno z ustawieniami opcji testu Wilcoxona (rangowanych znaków) wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→Wilcoxon (rangowanych znaków) lub poprzez ''Kreator''.

Przykład (plik kurier.pqs) c.d

Hipotezy:

\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $mediana liczba dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę $\\ &$kurierską wynosi 3$\\ \mathcal{H}_1: & $mediana liczba dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę $\\ &$kurierską jest różna od 3$ \end{array}

Porównując wartość $p= 0.123212$ testu Wilcoxona opartego o statystykę $T$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że nie mamy podstaw by odrzucić hipotezę zerową mówiącą, że zwykle liczba dni oczekiwania na dostarczenie przesyłki przez analizowaną firmę kurierską wynosi 3. Taką samą decyzję podjęlibyśmy również na podstawie wartości $p=0.111161$ lub $p=0.115817$ testu Wilcoxona opartego o statystykę $Z$ lub $Z$ z poprawką na ciągłość.

2014/08/22 20:00

Test chi-kwadrat zgodności

Test $\chi^2$ zgodności (dobroci dopasowania) (ang. Chi-square goodnes-of-fit test) nazywany jest również testem $\chi^2$ dla pojedynczej próby, przeznaczony jest do testowania zgodności wartości obserwowanych dla $r$ ($r>=2$) kategorii $X_1, X_2,..., X_r$ jednej cechy $X$ z hipotetycznymi wartościami oczekiwanymi dla tej cechy. Wartości wszystkich $n$ pomiarów należy zebrać w postaci tabeli składającej się z $r$ wierszy (kategorii: $X_1, X_2, ..., X_r$). Dla każdej kategorii $X_i$ zapisuje się częstość jej występowania $O_i$, oraz częstość dla niej oczekiwaną $E_i$ lub prawdopodobieństwo jej wystąpienia $p_i$. Częstość oczekiwana jest wyznaczana jako iloczyn $E_i=np_i$.
Utworzona tabela może przyjąć jedną z poniższych postaci:

\begin{tabular}[t]{c@{\hspace{1cm}}c} \begin{tabular}{c|c c} Kategorie $X_i$ & $O_i$ & $E_i$ \\\hline $X_1$ & $O_1$ & $E_i$ \\ $X_2$ & $O_2$ & $E_2$ \\ ... & ... & ...\\ $X_r$ & $O_r$ & $E_r$ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c|c c} Kategorie $X_i$ & $O_i$ & $p_i$ \\\hline $X_1$ & $O_1$ & $p_1$ \\ $X_2$ & $O_2$ & $p_2$ \\ ... & ... & ...\\ $X_r$ & $O_r$ & $p_r$ \\ \end{tabular} \end{tabular}

Podstawowe warunki stosowania:

  • pomiar na skali nominalnej - ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę,
  • duże liczności oczekiwane według interpretacji Cochrana (1952)5),
  • suma liczności obserwowanych powinna być taka sama jak suma liczności oczekiwanych, a suma wszystkich prawdopodobieństw $p_i$ powinna wynosić 1.

Hipotezy:

$\mathcal{H}_0 : O_i=E_i$ dla wszystkich kategorii,
$\mathcal{H}_1 : O_i \neq E_i$ dla przynajmniej jednej kategorii.

Statystyka testowa ma postać: \begin{displaymath} \chi^2=\sum_{i=1}^r\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}. \end{displaymath} Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności oczekiwanych) rozkład chi-kwadrat z liczbą stopni swobody wyznaczaną według wzoru: $df=(r-1)$.
Wyznaczoną na podstawie wartości statystyki i rozkładu $\chi^2$ wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

$ \begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \end{array}$

Okno z ustawieniami opcji testu Chi-kwadrat zgodności wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→Chi-kwadrat lub poprzez ''Kreator''.

Przykład (plik obiady.pqs)

Chcielibyśmy się dowiedzieć, czy liczba wydawanych obiadów w kolejnych dniach tygodnia (od poniedziałku do piątku) w pewnej szkolnej stołówce jest statystycznie taka sama. W tym celu pobrano tygodniową próbę i zapisano dla niej liczbę wydanych obiadów w poszczególnych dniach: poniedziałek - 33, wtorek - 29, środa - 32, czwartek - 36, piątek - 20.}

Łącznie przez cały tydzień (5 dni) wydano 150 obiadów. Zakładamy, że w każdy dzień prawdopodobieństwo wydania obiadu jest takie samo, czyli wynosi $\frac{1}{5}$. Oczekiwana liczba wydanych obiadów dla każdego z pięciu dni tygodnia wynosi więc $E_i=150\cdot\frac{1}{5}=30$.

Postawiono hipotezy:

\begin{array}{p{0.15\linewidth} p{0.8\linewidth}} $\mathcal{H}_0:$ & liczba wydawanych obiadów w badanej stołówce szkolnej w kolejnych dniach tygodnia jest zgodna z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w tych dniach\\ $\mathcal{H}_1:$ & liczba wydawanych obiadów w badanej stołówce szkolnej w kolejnych dniach tygodnia nie jest zgodna z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w tych dniach\\ \end{array}

Wartość $p$ z rozkładu $\chi^2$ dla 4 stopni swobody wynosi 0.287297. Zatem na poziomie istotności $\alpha=0.05$ możemy powiedzieć, że nie mamy podstaw, aby odrzucić hipotezę zerową mówiącą o zgodności liczby wydawanych obiadów z oczekiwaną liczbą wydawanych obiadów w poszczególnych dniach.

Uwaga!

Gdybyśmy chcieli w ramach jednego badania dokonać większej liczby porównań, moglibyśmy zastosować poprawkę Bonferroniego 6) lub inną z poprawek opisanych w dziale Wielokrotne porównania. Ta poprawka jest używana by ograniczyć wielkość popełnionego błędu pierwszego rodzaju, gdy porównujemy wartości obserwowane i oczekiwane pomiędzy wybranymi dniami np:

Pt $\Longleftrightarrow$ Pn,

Pt $\Longleftrightarrow$ Wt,

Pt $\Longleftrightarrow$ Śr,

Pt $\Longleftrightarrow$ Czw,

przy założeniu, że porównania wykonujemy niezależnie. Poziom istotności $\alpha$ dla każdego porównania wyznaczamy zgodnie z tą poprawką według wzoru: $\alpha=\frac{0.05}{r}$, gdzie $r$ to liczba wykonywanych porównań. Poziom istotności dla pojedynczego porównania zgodnie z poprawką Bonferroniego wynosi dla naszego przykładu $\alpha=\frac{0.05}{4}=0.0125$.

Należy jednak pamiętać, że redukując $\alpha$ dla każdego porównania zmniejszamy również moc testu.

2014/08/22 20:00

Testy dla jednej proporcji

Testy dla jednej proporcji stosujemy, gdy mamy do uzyskania dwa możliwe wyniki (jeden z nich to wynik wyróżniony o liczności $m$) i wiemy, jak często te wyniki pojawiają się w próbie (znamy proporcję $p$). W zależności od wielkości próby $n$ mamy do wyboru test $Z$ dla jednej proporcji $-$ dla dużych prób oraz test dokładny dwumianowy $-$ dla prób o małej liczności. Testy te służą do weryfikacji hipotezy, że proporcja w populacji z której pochodzi próba to zadana wartość.

Podstawowe warunki stosowania:

  • pomiar na skali nominalnej - ewentualne uporządkowanie kategorii nie jest brane pod uwagę.

Dodatkowy warunek dla testu $Z$ dla jednej proporcji:

  • duża liczność (według interpretacji Marascuilo i McSweeney (1977)7) każda z wartości $np>5$ i $n(1-p)>5$).

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & p=p_0,\\ \mathcal{H}_1: & p\neq p_0, \end{array} $

gdzie:

$p$ $-$ prawdopodobieństwo (wyróżniona proporcja) w populacji,

$p_0$ $-$ prawdopodobieństwo oczekiwane (proporcja oczekiwana).

Test $Z$ dla jednej proporcji

Test $Z$ dla jednej proporcji (ang. Z test for one proportion).

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath} Z=\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}, \end{displaymath} gdzie:

$p=\frac{m}{n}$ proporcja dla próby z tej populacji,

$m$ -liczność wartości wyszczególnionych w próbie,

$n$ - liczność próby.

Zmodyfikowana o poprawkę na ciągłość statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath} Z=\frac{|p-p_0|-\frac{1}{2n}}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}. \end{displaymath}

Statystyka $Z$ bez korekcji na ciągłość jak i z tą korekcją ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Test dwumianowy

Test dwumianowy (ang. Binominal test for one proportion) wykorzystuje w sposób bezpośredni rozkład dwumianowy zwany również rozkładem Bernoulliego, który należy do grupy rozkładów dyskretnych (czyli takich, w których badana zmienna przyjmuje skończoną liczbę wartości). Analizowana zmienna może przyjmować $k=2$ wartości, pierwszą oznaczaną zwykle mianem sukcesu a drugą porażki. Prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu to $p_0$, a porażki $1-p_0$.

Prawdopodobieństwo dla konkretnego punktu w tym rozkładzie wyliczane jest ze wzoru:

\begin{displaymath} P(m)={n \choose m}p_0^m(1-p_0)^{n-m}, \end{displaymath} gdzie:

${n \choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$,

$m$ - liczność wartości wyszczególnionych w próbie,

$n$ - liczność próby.

Na podstawie sumy odpowiednich prawdopodobieństw $P$ wyznacza się wartość $p$ jednostronną i dwustronną, przy czym dwustronna wartość $p$ jest definiowana jako podwojona wartość mniejszego z jednostronnych prawdopodobieństw. Wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Uwaga!

Dla estymatora z próby jakim jest w tym przypadku wartość proporcji $p$ wyznacza się przedział ufności. Dla prób o dużej liczności można bazować na przedziałach opartych o rozkład normalny - tzw. przedziały Walda. Bardziej uniwersalne są natomiast przedziały zaproponowane przez Wilsona (1927)8) a także Agresti i Coull (1998)9). Przedziały Cloppera i Pearsona (1934)10) są dokładniejsze dla prób o mniejszej liczności.

Porównanie metod budowania przedziałów dla proporcji można znaleźć w pracy Brown L.D i innych (2001)11).

Okno z ustawieniami opcji testu Z dla jednej proporcji wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→Z dla proporcji.

Przykład c.d. (plik obiady.pqs)

Załóżmy, że chcielibyśmy sprawdzić, czy w piątek wydawana jest $\frac{1}{5}$ spośród wszystkich obiadów wydawanych w szkolnej stołówce w ciągu tygodnia. Dla pobranej próby $m=20$, $n=150$.

Przy ustawianiu opcji analizy włączamy filtr wybierając odpowiedni dzień tygodnia - czyli piątek. Brak ustawienia filtru nie generuje błędu a jedynie wyliczenie kolejnych statystyk dla kolejnych dni tygodnia.

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $w piątek, w stołówce szkolnej wydaje się $\frac{1}{5} \\ & $spośród obiadów wydawanych w ciągu tygodnia w tej stołówce,$\\ \mathcal{H}_1: & $w piatek, w stołówce szkolnej wydaje się istotnie więcej lub mniej niż $\frac{1}{5} \\ & $spośród obiadów wydawanych w ciągu tygodnia w tej stołówce.$ \end{array} $

Proporcja wartości wyróżnionych w próbie to $p=\frac{m}{n}=0.133$ a 95% przedział ufności Cloppera-Pearsona dla tej frakcji $(0.083, 0.198)$ nie zawiera hipotetycznej wartości 0.2.

Na podstawie testu $Z$ bez poprawki na ciągłość ($p$=0.041227) jak i na podstawie dokładnej wartości prawdopodobieństwa wyliczonego z rozkładu dwumianowego ($p$=0.044711) moglibyśmy przyjąć (na poziomie istotności $\alpha=0.05$), że w piątek wydaje się statystycznie mniej niż $\frac{1}{5}$ obiadów wydawanych przez cały tydzień. Po zastosowaniu poprawki na ciągłość jednak nie udaje się odrzucić hipotezy zerowej ($p$=0.052479).

2014/08/22 20:00
1)
Wilcoxon F. (1945), Individual comparisons by ranking methods. Biometries 1, 80-83
2) , 7)
Marascuilo L.A. and McSweeney M. (1977), Nonparametric and distribution-free method for the social sciences. Monterey, CA: Brooks Cole Publishing Company
3)
Fritz C.O., Morris P.E., Richler J.J.(2012), Effect size estimates: Current use, calculations, and interpretation. Journal of Experimental Psychology: General., 141(1):2–18.
4)
Cohen J. (1988), Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, New Jersey
5)
Cochran W.G. (1952), The chi-square goodness-of-fit test. Annals of Mathematical Statistics, 23, 315-345
6)
Abdi H. (2007), Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons, in N.J. Salkind (ed.): Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks, CA: Sage
8)
E.B. (1927), Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference. Journal of the American Statistical Association: 22(158):209-212
9)
Agresti A., Coull B.A. (1998), Approximate is better than „exact” for interval estimation of binomial proportions. American Statistics 52: 119-126
10)
Clopper C. and Pearson S. (1934), The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial. Biometrika 26: 404-413
11)
Brown L.D., Cai T.T., DasGupta A. (2001), Interval Estimation for a Binomial Proportion. Statistical Science, Vol. 16, no. 2, 101-133