Test Page dla trendu

Test Page dla trendu (ang. the Page test for ordered alternative) opisany w roku 1963 przez Page E. B. 1) może być wyliczany w takiej samej sytuacji jak ANOVA Friedmana, gdyż bazuje na tych samych założeniach. Test Page inaczej jednak ujmuje hipotezę alternatywną - wskazując w niej na istnienie trendu w kolejnych pomiarach.

Hipotezy dotyczą równości sumy rang dla kolejnych pomiarów lub są upraszczane do median:

\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \theta_1=\theta_2=...=\theta_k,\\ \mathcal{H}_1: & \theta_1\geq\theta_2\geq...\geq\theta_k, $ z co najmniej jedną nierównością ścisłą$ \end{array}

Uwaga!

Określenie: „z co najmniej jedną nierównością ścisłą” zapisane w hipotezie alternatywnej tego testu oznacza, że co najmniej jedna mediana powinna być większa niż mediana innej grupy pomiarów w kolejności określonej.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath} Z=\frac{L-\left[\frac{nk(k+1)^2}{4}\right]}{\sqrt{\frac{n(k^3-k)^2}{144(k-1)}}} \end{displaymath}

gdzie:

$L=\sum_{j=1}^kR_jc_j$,

$R_j$ $-$ suma rang $j$-tego pomiaru,

$c_j$ $-$ waga dla $j$-tego pomiaru informująca o naturalnym porządku tego pomiaru w śród innych pomiarów (wagi to kolejne liczby naturalne).

Uwaga!

By można było przeprowadzić analizę trendu, należy wskazać oczekiwane uporządkowanie pomiarów przypisując kolejne liczby naturalne kolejnym grupom pomiarowym. Liczby te w analizie traktowane są jako wagi $c_1$, $c_2$, …, $c_k$.

Wzór na statystykę testową $Z$ nie zawiera poprawki na rangi wiązane, przez co staje się nieco bardziej konserwatywny, gdy rangi wiązane występują. Jednakże stosowanie korekty na rangi wiązane w przypadku tego testu nie jest rekomendowane.

Statystyka $Z$ ma asymptotycznie (dla dużych liczności) rozkład normalny.

Przy znanym oczekiwanym kierunku trendu, hipoteza alternatywna jest jednostronna i interpretacji podlega jednostronna wartość $p$. Interpretacja dwustronnej wartości $p$ oznacza, że badacz nie zna (nie zakłada) kierunku ewentualnego trendu. Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Okno z ustawieniami opcji testu Page wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy nieparametryczne→ANOVA Friedmana (możliwość braków danych) lub poprzez Kreator.

Przykład c.d. (plik baton.pqs)

Oczekiwanym skutkiem prowadzenia przez firmę intensywnej kampanii reklamowej jest stały wzrost sprzedaży oferowanego batonu.

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $brak wskazanego trendu w sprzedaży batonu,$\\ \mathcal{H}_1: & $istnieje wskazany trend w sprzedaży batonu.$ \end{array} $

Porównując jednostronną wartość $p=0,000004$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$, stwierdzamy, że kampania przyniosła oczekiwany trend wzrostu sprzedaży produktu.

1)
Page E. B. (1963), Ordered hypotheses for multiple treatments: A significance test for linear ranks. Journal of the American Statistical Association 58 (301): 216–30