Test chi-kwadrat wariancji pojedynczej próby

Test $\chi^2$ wariancji pojedynczej próby (ang. The Single-Sample Chi-square Test for a Population Variance) służy do weryfikacji hipotezy, że badana próba pochodzi z populacji dla której wariancja (lub odchylenie standardowe $\sigma$) to zadana wartość. Przy czym hipotezy mogą dotyczyć zarówno wariancji jak i równoważnie odchylenia standardowego.
Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:

\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \sigma=\sigma_0,\\ \mathcal{H}_1: & \sigma\ne \sigma_0, \end{array}

gdzie:

$\sigma$ - odchylenie cechy w populacji reprezentowanej przez próbę,

$\sigma_0$ - zadana wartość.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath} t=\frac{(n-1)sd^2}{\sigma_0^2}, \end{displaymath}

gdzie:

$sd$ - odchylenie standardowe z próby,

$n$ - liczność próby.

Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat z liczbą stopni swobody wyznaczaną według wzoru: $df=n-1$.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Przy czym, jeśli wartość odchylenia standardowego jest mniejsza niż wartość zadana, to wartość $p$ wyliczana jest jako podwojoną wartość pola pod krzywą rozkładu chi-kwadrat na lewo od odpowiedniej wartości krytycznej, a jeśli jest większa niż wartość zadana, jest to podwojoną wartość odpowiedniego pola po prawej stronie.

Okno z ustawieniami opcji testu chi-kwadrat wariancji pojedynczej próby wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy parametryczne→Chi-kwadrat dla wariancji.

Uwaga!

Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych tzn. odchyleniu standardowym i liczności próby.

Przykład (dozownik.pqs)

Przed przystąpieniem do produkcji kolejnej partii pewnego syropu przeciwkaszlowego dokonano kontrolnych pomiarów objętości syropu nalewanego do butelek. Z dokumentacji technicznej urządzenia dozującego wynika, że dopuszczalny rozrzut objętości syropu mierzony za pomocą odchylenia standardowego wynosi 1ml. Należy sprawdzić, czy testowane urządzenie działa prawidłowo.}

Sprawdzono (testem Lillieforsa) normalność rozkładu objętości syropu nalewanego do butelek uzyskując wynik zgodny z tym rozkładem. Analiza dotycząca odchylenia standardowego może być więc przeprowadzona testem chi-kwadrat dla wariancji.

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $odchylenie standardowe objętości syropu nalewanego przez urządzenie$\\ &$ dozujące wynosi 1ml,$\\ \mathcal{H}_1: & $odchylenie standardowe objętości syropu nalewanego przez urządzenie$ \\ &$dozujące jest różne od 1ml.$ \end{array} $

Porównując wartość $p=0.000001$ testu $\chi^2$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że rozrzut urządzenia dozującego jest inny niż 1ml. Działanie urządzenia możemy jednak uznać za prawidłowe, ponieważ odchylenie standardowe w próbie wynosi 0.76 i jest istotnie mniejsze niż dopuszczalna wartość wynikająca z dokumentacji technicznej.