statpqpl:korelpl:parpl:rpbetapl

Istotność współczynnika nachylenia prostej

Test t do sprawdzania istotności współczynników równania regresji liniowej

Test ten służy do weryfikacji hipotezy o braku zależności liniowej pomiędzy badanymi cechami populacji i opiera się na współczynniku nachylenia prostej wyliczonym dla próby. Im wartość współczynnika $\beta$ będzie bliższa 0, tym słabszą zależność dopasowana prosta przedstawia.

Podstawowe warunki stosowania:

pomiar na skali interwałowej,
normalność rozkładu badanych cech w populacji lub normalność reszt modelu.

Hipotezy:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \beta = 0, \\ \mathcal{H}_1: & \beta \ne 0. \end{array}$

Statystyka testowa ma postać: $\begin{displaymath} t=\frac{\beta}{SE} \end{displaymath}$

gdzie:

$\displaystyle SE=\frac{s_{yx}}{sd_x\sqrt{n-1}}$ ,

$s_{yx}=sd_y \sqrt{\frac{n-1}{n-2}(1-r^2)}$ ,

$sd_x, sd_y$ - odchylenie standardowe wartości cechy $X$ i cechy $Y$ .

Wartość statystyki testowej nie może być wyznaczona, gdy $r_p=1$ lub $r_p=-1$ albo, gdy $n<3$ .

Statystyka testowa ma rozkład t-Studenta z $n-2$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$ :

$\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}$

Predykcja

polega na przewidywaniu wartości jednej ze zmiennych (najczęściej zmiennej zależnej $y_0$ ) na podstawie wartości innej zmiennej (najczęściej zmiennej niezależnej $x_0$ ). Dokładność wyznaczonej wartości określają obliczone dla niej przedziały predykcji.

Interpolacja polega na przewidywaniu wartości zadanej zmiennej leżącej wewnątrz obszaru, dla którego wykonaliśmy model regresji. Interpolacja jest więc z reguły procedurą bezpieczną - zakłada się tu jedynie ciągłość funkcji wyrażającej zależność obu zmiennych.
Ekstrapolacja polega na przewidywaniu wartości zadanej zmiennej leżącej poza obszarem, dla którego zbudowaliśmy model regresji. W przeciwieństwie do interpolacji, ekstrapolacja bywa często zabiegiem ryzykownym i dokonuje się jej jedynie w niewielkiej odległości od obszaru, dla którego powstał model regresji. Podobnie jak w interpolacji zakłada się ciągłość funkcji wyrażającej zależność obu zmiennych.

Analiza reszt modelu - wyjaśnienie w module Regresja Wieloraka.

Okno z ustawieniami opcji zależności liniowej Pearsona wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy parametryczne→zależność liniowa (r-Pearsona) lub poprzez ''Kreator''.

Przykład (plik wiek-wzrost.pqs)

Wśród uczniów pewnej szkoły baletowej badano zależność pomiędzy wiekiem a wzrostem. W tym celu pobrano próbę obejmującą szesnaścioro dzieci i zapisano dla nich następujące wyniki pomiaru tych cech:

(wiek, wzrost): (5, 128) (5, 129) (5, 135) (6, 132) (6, 137) (6, 140) (7, 148) (7, 150) (8, 135) (8, 142) (8, 151) (9, 138) (9, 153) (10, 159) (10, 160) (10, 162).}

Hipotezy:

$\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $nie istnieje zależność liniowa pomiędzy wiekiem a wzrostem$\\ &$dla populacji dzieci badanej szkoły,$\\ \mathcal{H}_1: & $istnieje zależność liniowa pomiędzy wiekiem a wzrostem$\\ &$dla populacji dzieci badanej szkoły.$ \end{array}$

Porównując wartość $p$ =0.000069 z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że istnieje zależność liniowa pomiędzy wiekiem a wzrostem dla populacji dzieci badanej szkoły. Zależność ta jest wprost proporcjonalna, tzn. wraz ze wzrostem wieku dzieci rośnie wysokość ciała.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona, a zatem siła związku liniowego pomiędzy wiekiem a wzrostem wynosi $r_p$ =0.8302. Współczynnik determinacji $r_p^2=0.6892$ oznacza, że ok. 69% zmienności wzrostu jest tłumaczona zmiennością wieku.

Z równania regresji postaci: $\begin{displaymath} wzrost=5.09\cdot wiek +105.83 \end{displaymath}$ można wyliczyć predykcyjną wartość dla dziecka w wieku np. 6 lat. Przewidywany wzrost takiego dziecka wynosi 136.37cm.