Metody hierarchiczne

Metody hierarchicznej analizy skupień polegają na budowaniu hierarchii skupień poczynając od tych najmniejszych (złożonych z pojedynczych obiektów), a kończąc na tych największych (złożonych z maksymalnej liczby obiektów). Skupienia tworzone są na bazie macierzy podobieństwa obiektów.

PROCEDURA AGLOMERACYJNA

  1. Postępując zgodnie z wskazaną metodą wiązania, algorytm znajduje w macierzy podobieństwa parę podobnych obiektów i łączy je w skupienie;
  2. Wymiar macierzy podobieństwa zostaje zredukowany o jeden (dwa obiekty zastąpiono jednym) a odległości znajdujące się w macierzy wyliczone są ponownie;
  3. Kroki 2-3 są powtarzane aż do uzyskania jednego skupienia zawierającego wszystkie obiekty.

Podobieństwo obiektów

W toku prac związanych z analizą skupień zasadniczą rolę odgrywają miary podobieństwa lub odległości. Wzajemne podobieństwo obiektów umieszczane jest w macierzy podobieństwa. Duża różnorodność metod wyznaczania odległości/niepodobieństwa między obiektami pozwala na wybór takich miar, które najlepiej odzwierciedlają rzeczywiste relacje. Szerzej miary odległości i podobieństwa opisane są w dziale Macierz podobieństwa.

Analiza skupień opiera swoje działania na wyszukiwaniu skupień wewnątrz macierzy podobieństwa. Macierz taka jest budowana w trakcie wykonywania analizy skupień. By analiza skupień przyniosła pożądane skutki, przy wyborze sposobu wyliczania odległości należy pamiętać, że większe wartości liczbowe w macierzy podobieństwa mają wskazywać na większe zróżnicowanie obiektów, a wartości mniejsze na ich podobieństwo.

Uwaga! By zwiększyć wpływ wybranych zmiennych na elementy macierzy podobieństwa, należy wskazać odpowiednie wagi przy ustawianiu sposobu definiowania odległości pamiętając jednocześnie o wystandaryzowaniu danych. Np. Dla osób chcących zaopiekować się psem pogrupowanie psów zgodnie z wielkością, umaszczeniem, długością ogona, charakterem, rasą itp. ułatwi dokonanie wyboru. Jednak, identyczne traktowanie wszystkich cech może spowodować umieszczenie zupełnie niepodobnych psów w jednej grupie. Natomiast dla większości z nas ważniejsza jest wielkość psa i jego charakter niż długość jego ogona, dlatego w grupowaniu należałoby ustawić miary podobieństwa tak, by to właśnie wielkość i charakter miały największe znaczenie w budowaniu skupień.

Metody wiązania obiektów i skupień

\begin{pspicture}(-0.5,-2)(10,3) \pscircle[linewidth=2pt](.5,.5){2} \psdot[dotstyle=*](-.8,1) \psdot[dotstyle=*](1.7,0.1) \psdot[dotstyle=*](0.6,1.2) \pscircle[linewidth=2pt](6,.5){2} \psdot[dotstyle=*](7.2,1.2) \psdot[dotstyle=*](5.1,-0.4) \psdot[dotstyle=*](5.6,1.3) \psline{-}(1.7,0.1)(5.1,-0.4) \end{pspicture}

\begin{pspicture}(-0.5,-2)(10,3) \pscircle[linewidth=2pt](.5,.5){2} \psdot[dotstyle=*](-.8,1) \psdot[dotstyle=*](1.7,0.1) \psdot[dotstyle=*](0.6,1.2) \pscircle[linewidth=2pt](6,.5){2} \psdot[dotstyle=*](7.2,1.2) \psdot[dotstyle=*](5.1,-0.4) \psdot[dotstyle=*](5.6,1.3) \psline{-}(-.8,1)(7.2,1.2) \end{pspicture}

\begin{pspicture}(-0.5,-2)(10,3) \pscircle[linewidth=2pt](.5,.5){2} \psdot[dotstyle=*](-.8,1) \psdot[dotstyle=*](1.7,0.1) \psdot[dotstyle=*](0.6,1.2) \pscircle[linewidth=2pt](6,.5){2} \psdot[dotstyle=*](7.2,1.2) \psdot[dotstyle=*](5.1,-0.4) \psdot[dotstyle=*](5.6,1.3) \psline{-}(-.8,1)(7.2,1.2) \psline{-}(-.8,1)(5.1,-0.4) \psline{-}(-.8,1)(5.6,1.3) \psline{-}(1.7,0.1)(7.2,1.2) \psline{-}(1.7,0.1)(5.1,-0.4) \psline{-}(1.7,0.1)(5.6,1.3) \psline{-}(0.6,1.2)(7.2,1.2) \psline{-}(0.6,1.2)(5.1,-0.4) \psline{-}(1.7,0.1)(5.6,1.3) \end{pspicture}

\begin{pspicture}(-0.5,-2)(10,3) \pscircle[linewidth=2pt](.5,.5){2} \psdot[dotstyle=*](-.8,1) \psdot[dotstyle=*](1.7,0.1) \psdot[dotstyle=*](0.6,1.2) \psline[linestyle=dashed]{-}(-.8,1)(0.52,0.8) \psline[linestyle=dashed]{-}(1.7,0.1)(0.52,0.8) \psline[linestyle=dashed]{-}(0.6,1.2)(0.52,0.8) \psdot[dotstyle=pentagon*,linecolor=red](0.52,0.8) \pscircle[linewidth=2pt](6,.5){2} \psdot[dotstyle=*](7.2,1.2) \psdot[dotstyle=*](5.1,-0.4) \psdot[dotstyle=*](5.6,1.3) \psdot[dotstyle=pentagon*,linecolor=red](5.85,0.8) \psline[linestyle=dashed]{-}(7.2,1.2)(5.85,0.8) \psline[linestyle=dashed]{-}(5.1,-0.4)(5.85,0.8) \psline[linestyle=dashed]{-}(5.6,1.3)(5.85,0.8) \psline[linestyle=dotted]{-}(0.52,0.8)(5.85,0.8) \psline[linestyle=dotted]{-}(-.8,1)(7.2,1.2) \psline[linestyle=dotted]{-}(-.8,1)(5.1,-0.4) \psline[linestyle=dotted]{-}(-.8,1)(5.6,1.3) \psline[linestyle=dotted]{-}(1.7,0.1)(7.2,1.2) \psline[linestyle=dotted]{-}(1.7,0.1)(5.1,-0.4) \psline[linestyle=dotted]{-}(1.7,0.1)(5.6,1.3) \psline[linestyle=dotted]{-}(0.6,1.2)(7.2,1.2) \psline[linestyle=dotted]{-}(0.6,1.2)(5.1,-0.4) \psline[linestyle=dotted]{-}(1.7,0.1)(5.6,1.3) \end{pspicture}

Wynik analizy skupień prowadzonej metodą hierarchiczną przedstawia się przy pomocy dendogramu. Dendogram jest formą drzewa wskazującego związki pomiędzy poszczególnymi obiektami uzyskane z analizy macierzy podobieństwa. Poziom odcięcia dendogramu decyduje o liczbie skupień, na które chcemy dzielić zgromadzone obiekty. Wybór sposobu odcięcia określamy podając w procentach długość wiązania, przy którym nastąpi cięcie, gdzie 100% stanowi długość ostatniego i jednocześnie najdłuższego wiązania w dendogramie.

Okno z ustawieniami opcji hierarchicznej analizy skupień wywołujemy poprzez menu Statystyki zaawansowane→Grupowanie i Redukcja→Hierarchiczna analiza skupień.

Przykład c.d. (plik iris.pqs)

Analiza przeprowadzona zostanie na klasycznym zestawie danych, dotyczącym podziału kwiatów irysa na 3 odmiany na podstawie szerokości oraz długości płatków i działek kielicha (R.A. Fishera 19361)). Ponieważ w tym zestawie danych znajduje się informacja o rzeczywistej odmianie każdego kwiatu, po przeprowadzonej analizie skupień istnieje możliwość określenia dokładności dokonanego podziału.

Przydziału kwiatów do poszczególnych grup dokonujemy na podstawie kolumn od 2 do 5. Wybieramy sposób wyliczania odległości np. odległość Euklidesową i metodę wiązania np. średnią. Podanie poziomu odcięcia skupień pozwoli na takie odcięcie dendogramu by powstały skupienia - w przypadku tej analizy chcemy uzyskać 3 skupienia i by to osiągnąć zmieniamy poziom odcięcia na 45%. Do raportu dołączamy również dane+skupienia.

Na wykresie typu dendogram, przedstawiono kolejność wiązań i ich długość.

By zbadać czy wyodrębnione skupienia stanowią 3 rzeczywiste odmiany kwiatów irysa, możemy skopiować kolumnę zawierającą informację o przynależności do skupienia z raportu i wkleić do arkusza danych. Podobnie jak skupienia, odmiany opisane są również liczbowo poprzez Kody/Etykiety/Format, dlatego z łatwością można przeprowadzić analizę zgodności. Zgodność naszych wyników z rzeczywistą przynależnością danego kwiatu do odpowiedniego gatunku sprawdzimy metodą Kappa Cohena.

Dla przedstawionego przykładu obserwowaną zgodność przedstawia tabela:

Wnioskujemy z niej, że odmiana virginica może być mylona z versicolor, dlatego obserwujemy tu 14 błędnych zaklasyfikowań. Natomiast współczynnik zgodności Kappa jest istotny statystycznie i wynosi 0.86, co świadczy o dużej zgodności uzyskanych skupień z rzeczywistą odmianą kwiatów.

1)
Fisher R.A. (1936), The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of Eugenics 7 (2): 179–188