Test t-Studenta dla grup zależnych

Test t-Studenta dla grup zależnych (ang. t test for dependent groups) stosuje się w sytuacji gdy pomiarów badanej zmiennej dokonujemy dwukrotnie w różnych warunkach (przy czym zakładamy, że wariancje zmiennej w obu pomiarach są sobie bliskie). Interesuje nas różnica pomiędzy parami pomiarów ($d_i=x_{1i}-x_{2i}$). Różnica ta wykorzystywana jest do weryfikacji hipotezy o tym, że średnia dla niej (dla różnicy) w badanej populacji wynosi 0.

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:

\begin{array}{cc} \mathcal{H}_0: & \mu_0=0,\\ \mathcal{H}_1: & \mu_0\ne0, \end{array}

gdzie:

$\mu_0$, $-$ średnia różnic $d_i$ w populacji.

Statystyka testowa ma postać: \begin{displaymath} t=\frac{\overline{d}}{sd_d}\sqrt{n}, \end{displaymath}

gdzie:

$\overline{d}$ $-$ średnia różnic $d_i$ w próbie,

$sd_d $ $-$ odchylenie standardowe różnic $d_i$ w próbie,

$n$ $-$ liczność różnic $d_i$ w próbie.

Statystyka testowa ma rozkład t-Studenta z $n-1$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Uwaga!

\begin{displaymath} sd_d=\displaystyle{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(d_i-\overline{d})^2}{n-1}}}, \end{displaymath}

\begin{displaymath} SEM_{d}=\displaystyle{\frac{SD_d}{\sqrt{n}}}. \end{displaymath}

Standaryzowana wielkość efektu.

Współczynnik d-Cohena określa jak dużą częścią występującej zmienności jest różnica między średnimi, biorąc pod uwagę skorelowanie zmiennych.

\begin{displaymath} d=\frac{dz}{\sqrt{1-r_p}}, \end{displaymath}.

gdzie:

$dz=\left|\frac{\overline{d}}{sd_d}\right|$,

$r_p $ – współczynnik korelacji liniowej Pearsona.

Przy interpretacji efektu badacze często posługują się ogólnymi, określonymi przez Cohena 1) wskazówkami definiującymi małą (0.2), średnią (0.5) i dużą (0.8) wielkość efektu.

Okno z ustawieniami opcji testu t-Studenta dla grup zależnych wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy parametryczne→t-Student dla grup zależnych lub poprzez ''Kreator''.

Uwaga!

Obliczenia mogą bazować na danych w postaci surowych rekordów lub danych uśrednionych tzn. średniej różnic, odchyleniu standardowym różnic i liczności próby.

Przykład (plik BMI.pqs)

W klinice leczącej zaburzenia odżywiana badano wpływ zalecanej „diety A” na zmianę masy ciała. Próbę 120 otyłych chorych poddano diecie. Zbadano dla nich poziom BMI dwukrotnie: przed wprowadzeniem diety i po 180 dniach stosowania diety. By sprawdzić skuteczność diety porównano uzyskane wyniki pomiarów BMI.

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $średnie wartości BMI nie zmieniają się na skutek stosowania diety$\\ \mathcal{H}_1: & $średnie wartości BMI zmieniają się na skutek stosowania diety$ \end{array} $

Porównując wartość $p<0.0001$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że średni poziom BMI zmienił się istotnie. Przed stosowaniem diety był wyższy średnio o niecałe 2 jednostki.

W badaniu możliwe było stosowanie testu t-Studenta dla grup zależnych, ponieważ rozkład różnicy pomiędzy parami pomiarów był rozkładem normalnym (test Lillieforsa, wartość $p=0.0837$).

1)
Cohen J. (1988), Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, New Jersey