Poprawki testu chi-kwadrat dla małych tabel

Testy te opierają się na danych zebranych w postaci tabeli kontyngencji 2 cech ($X$, $Y$), z których każda ma możliwe 2 kategorie $X_1, X_2$ oraz $Y_1, Y_2$.

Test chi-kwadrat z poprawką Yatesa na ciągłość

Test $\chi^2$ z poprawką Yatesa (ang. Chi-square test with Yates correction), Frank Yates (1934)1) jest testem bardziej konserwatywny od testu chi-kwadrat (trudniej niż test chi-kwadrat odrzuca hipotezę zerową). Poprawka na ciągłość ma zapewnić możliwość przyjmowania przez statystykę testową wszystkich wartości liczb rzeczywistych zgodnie z założeniem rozkładu chi-kwadrat.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath} \chi^2=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2\frac{(|O_{ij}-E_{ij}|-0.5)^2}{E_{ij}}. \end{displaymath}

Test Fishera dla tabel 2×2

Test Fishera dla tabel $2\times 2$ nazywany jest również testem dokładnym Fishera (ang. Fisher exact test), R. A. Fisher (19342), 19353)). Test ten określa dokładne prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnego rozkładu liczb w tabeli przy znanym $n$ i ustalonych sumach brzegowych. \begin{displaymath} P=\frac{{O_{11}+O_{21} \choose O_{11}}{O_{12}+O_{22} \choose O_{12}}}{{O_{11}+O_{12}+O_{21}+O_{22} \choose O_{11}+O_{12}}}. \end{displaymath} Przy znanych sumach brzegowych, dla różnych układów wartości obserwowanych wyznaczamy prawdopodobieństwa $P$. Dokładny poziom istotności $p$ jest sumą tych prawdopodobieństw, które są mniejsze lub równe badanemu prawdopodobieństwu.

Test mid-p

mid-p jest korektą testu dokładnego Fishera. Ta zmodyfikowana wartość $p$ jest rekomendowana przez wielu statystyków (Lancaster 19614), Anscombe 19815), Pratt i Gibbons 19816), Plackett 19847), Miettinen 19858) i Barnard 19899), Rothman 200810)) jako metoda zmniejszenia konserwatyzm testu dokładnego Fishera. W rezultacie testem mid-p szybciej odrzucimy hipotezę zerowa niż dokładnym testem Fishera. Dla dużych prób wartość $p$ otrzymana przy pomocy testu $\chi^2$ z poprawką Yatesa i test Fishera dają zbliżone wyniki, natomiast wartość $p$ testu $\chi^2$ bez korekcji koresponduje z wartością mid-p.

Wartość $p$ mid-p wyznaczana jest przez przekształcenie wartości prawdopodobieństwa dla testu dokładnego Fishera. Jednostronna wartość $p$ wyznaczana jest ze wzoru:

\begin{displaymath} p_{I(mid-p)}=p_{I(Fisher)}-0.5\cdot P_{punktu(tabeli\quad zadanej)}, \end{displaymath}

gdzie:

$p_{I(mid-p)}$ $-$ wartość jednostronna $p$ testu mid-p

$p_{I(Fisher)}$ $-$ wartość jednostronna $p$ testu dokładnego Fishera

a dwustronna wartość $p$ jest definiowana jako podwojona wartość mniejszego z jednostronnych prawdopodobieństw:

\begin{displaymath} p_{II(mid-p)}=2p_{I(mid-p)}, \end{displaymath}

gdzie:

$p_{II(mid-p)}$ $-$ wartość dwustronna $p$ testu mid-p.

1)
Yates F. (1934), Contingency tables involving small numbers and the chi-square test. Journal of the Royal Statistical Society, 1,2 17-235
2)
Fisher R.A. (1934), Statistical methods for research workers (5th ed.). Edinburgh: Oliver and Boyd.
3)
Fisher R.A. (1935), The logic of inductive inference. Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 98,39-54
4)
Lancaster H.O. (1961), Significance tests in discrete distributions. Journal of the American Statistical Association 56:223-234
5)
Anscombe F.J. (1981), Computing in Statistical Science through APL. Springer-Verlag, New York
6)
Pratt J.W. and Gibbons J.D. (1981), Concepts of Nonparametric Theory. Springer-Verlag, New York
7)
Plackett R.L. (1984), Discussion of Yates' „Tests of significance for 2×2 contingency tables”. Journal of Royal Statistical Society Series A 147:426-463
8)
Miettinen O.S. (1985), Theoretical Epidemiology: Principles of Occurrence Research in Medicine. John Wiley and Sons, New York
9)
Barnard G.A. (1989), On alleged gains in power from lower p-values. Statistics in Medicine 8:1469-1477
10)
Rothman K.J., Greenland S., Lash T.L. (2008), Modern Epidemiology, 3rd ed. (Lippincott Williams and Wilkins) 221-225