Kodowanie zmiennych

Problemem w przygotowaniu danych do analizy wielowymiarowej jest odpowiednie zakodowanie zmiennych nominalnych i porządkowych. Jest to ważny element przygotowania danych do analizy, gdyż ma zasadniczy wpływ na interpretację współczynników modelu. Zmienne nominalne lub porządkowe dzielą analizowane obiekty na dwie lub więcej kategorii, przy czym zmienne dychotomiczne (o dwóch kategoriach, $k=2$) wystarczy tylko odpowiednio zakodować, a zmienne o wielu kategoriach ($k>2$) rozbić na zmienne fikcyjne (ang. dummy variable) o dwóch kategoriach oraz zakodować.

Kodowanie zero-jedynkowe (dummy coding) jest wykorzystywane by przy pomocy modeli wielowymiarowych odpowiedzieć na pytanie: Jak wyniki ($Y$), w każdej analizowanej kategorii, różnią się od wyników kategorii referencyjnej. Kodowanie to polega na przypisaniu wartości 0 lub 1 do każdej kategorii danej zmiennej. Kategoria zakodowana jako 0 jest wówczas kategorią referencyjną (reference).

  • [$k=2$] Gdy kodowana zmienna jest dychotomiczna, wówczas umieszczając ją w modelu regresji uzyskamy wyliczony dla niej współczynnik ($b_i$). Współczynnik ten jest odniesieniem wartości zmiennej zależnej $Y$ dla kategorii 1 do kategorii referencyjnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu).
  • [$k>2$] Gdy analizowana zmienna ma więcej niż dwie kategorie, wówczas $k$ kategorii jest reprezentowanych przez $k-1$ zmiennych fikcyjnych (dummy variables) o kodowaniu zero-jedynkowym. Tworząc zmienne o kodowaniu zero-jedynkowym wybiera się kategorię, dla której nie tworzy się zmiennej fikcyjnej. Kategoria ta traktowana jest w modelach jako kategoria odniesienia (gdyż w każdej zmiennej zakodowanej w sposób zero-jedynkowy odpowiadają jej wartości 0).

Gdy tak uzyskane zmienne $X_1, X_2, ..., X_{k-1}$ o kodowaniu zero-jedynkowym zostaną umieszczone w modelu regresji, wówczas zostaną dla nich wyliczone współczynniki $b_1, b_2, ..., b_{k-1}$.

  • [$b_1$] to odniesienie wyników $Y$ (dla kodów 1 w $X_1$) do kategorii referencyjnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu);
  • [$b_2$] to odniesienie wyników $Y$ (dla kodów 1 w $X_2$) do kategorii referencyjnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu)
  • […]
  • [$b_{k-1}$] to odniesienie wyników $Y$ (dla kodów 1 w $X_{k-1}$) do kategorii referencyjnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu);

Przykład

Zakodujemy zgodnie z kodowaniem zero-jedynkowym zmienną płeć o dwóch kategoriach (płeć męską wybierzemy jako kategorię referencyjną) i zmienną wykształcenie o 4 kategoriach (wykształcenie podstawowe wybierzemy jako referencyjne).

\begin{tabular}{|c|c|} \hline &\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{\textbf{Zakodowna}}\\ \textbf{Płeć}&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{\textbf{płeć}}\\\hline k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ ...&...\\\hline \end{tabular}

\begin{tabular}{|c|ccc|} \hline & \multicolumn{3}{c|}{\textbf{Zakodowane wykształcenie}}\\ \textbf{Wykształcenie}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{\textbf{zawodowe}}&\textcolor[rgb]{1,0,0}{\textbf{średnie}}&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{\textbf{wyższe}}\\\hline \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}podstawowe&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}podstawowe&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}podstawowe&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}0\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zawodowe}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zawodowe}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zawodowe}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zawodowe}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{średnie}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{średnie}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{średnie}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{średnie}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0\\ \textcolor[rgb]{0,0.58,0}{wyższe}&0&0&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{1}\\ \textcolor[rgb]{0,0.58,0}{wyższe}&0&0&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{1}\\ \textcolor[rgb]{0,0.58,0}{wyższe}&0&0&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{1}\\\ \textcolor[rgb]{0,0.58,0}{wyższe}&0&0&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{1}\\ \textcolor[rgb]{0,0.58,0}{wyższe}&0&0&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{1}\\ ...&...&...&...\\\hline \end{tabular}

Budując na podstawie zmiennych fikcyjnych, w modelu regresji wielorakiej, moglibyśmy chcieć sprawdzić jak zmienne te wpływają na pewną zmienną zależną np. $Y$ = wysokość zarobków (wyrażoną w tysiącach złotych). W wyniku takiej analizy dla każdej zmiennej fikcyjnej uzyskamy przykładowe współczynniki:

- dla płci istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=-0.5$ - co oznacza, że średnie zarobki kobiet są o pół tysiąca złoty niższe niż mężczyzn; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie;

- dla wykształcenia zawodowego istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=0.6$ - co oznacza, że średnie zarobki osób z wykształceniem zawodowym są o 0.6 tysiąca złoty wyższe niż dla osób z wykształceniem podstawowym; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie;

- dla wykształcenia średniego istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=1$ - oznacza, że średnie zarobki osób z wykształceniem średnim są o tysiąc złoty wyższe niż dla osób z wykształceniem podstawowym; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie;

- dla wykształcenia wyższego istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=1.5$ - co oznacza, że średnie zarobki osób z wykształceniem wyższym są o 1.5 tysiąca wyższe niż dla osób z wykształceniem podstawowym; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie.

Kodowanie efektów (effect coding) jest wykorzystywane, by przy pomocy modeli wielowymiarowych odpowiedzieć na pytanie: Jak wyniki ($Y$), w każdej analizowanej kategorii, różnią się od wyników średniej (nieważonej) uzyskanej z próby. Kodowanie to polega na przypisaniu wartości -1 lub 1 do każdej kategorii danej zmiennej. Kategoria zakodowana jako -1 jest wówczas kategorią bazową (base)

  • [$k=2$] Gdy kodowana zmienna jest dychotomiczna, wówczas umieszczając ją w modelu regresji uzyskamy wyliczony dla niej współczynnik ($b_i$). Współczynnik ten jest odniesieniem $Y$ dla kategorii 1 do nieważonej średniej ogólnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu).

Gdy analizowana zmienna ma więcej niż dwie kategorie, wówczas $k$ kategorii jest reprezentowanych przez $k-1$ zmiennych fikcyjnych o kodowaniu efektu. Tworząc zmienne o kodowaniu efektu wybiera się kategorię dla której nie tworzy się oddzielnej zmiennej. Kategoria ta traktowana jest w modelach jako kategoria bazowa (gdyż w każdej zmiennej zapisanej poprzez kodowanie efektu odpowiadają jej wartości -1).

Gdy tak uzyskane zmienne $X_1, X_2, ..., X_{k-1}$ o kodowaniu efektu zostaną umieszczone w modelu regresji, wówczas zostaną dla nich wyliczone współczynniki $b_1, b_2, ..., b_{k-1}$.

  • [$b_1$] to odniesienie wyników $Y$ (dla kodów 1 w $X_1$) do nieważonej średniej ogólnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu);
  • [$b_2$] to odniesienie wyników $Y$ (dla kodów 1 w $X_2$) do nieważonej średniej ogólnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu);
  • […]
  • [$b_{k-1}$] to odniesienie wyników $Y$ (dla kodów 1 w $X_{k-1}$) do nieważonej średniej ogólnej (w korekcji o pozostałe zmienne w modelu);

Przykład

Zakodujemy przy pomocy kodowania efektu zmienną płeć o dwóch kategoriach (płeć męską wybierzemy jako kategorię bazową) i zmienną wskazującą region zamieszkania na terenie analizowanego kraju. Wyróżniono 5 regionów: północny, południowy, wschodni, zachodni i centralny - region centralny wybierzemy jako bazowy.

\begin{tabular}{|c|c|} \hline &\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{\textbf{Zakodowona}}\\ \textbf{Płeć}&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{\textbf{płeć}}\\\hline k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ k&\textcolor[rgb]{0.5,0,0.5}{1}\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}m&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ ...&...\\\hline \end{tabular}

\begin{tabular}{|c|cccc|} \hline \textbf{Region}& \multicolumn{4}{c|}{\textbf{Zakodowany region}}\\ \textbf{zamieszkania}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{\textbf{zachodni}}&\textcolor[rgb]{1,0,0}{\textbf{wschodni}}&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{\textbf{północny}}&\textcolor[rgb]{0.55,0,0}{\textbf{południowy}}\\\hline \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}centralny&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}centralny&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ \cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}centralny&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1&\cellcolor[rgb]{0.88,0.88,0.88}-1\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zachodni}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0&0\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zachodni}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0&0\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zachodni}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0&0\\ \textcolor[rgb]{0,0,1}{zachodni}&\textcolor[rgb]{0,0,1}{1}&0&0&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{wschodni}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{wschodni}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{wschodni}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{wschodni}&0&\textcolor[rgb]{1,0,0}{1}&0&0\\ \textcolor[rgb]{0,0.58,0}{północny}&0&0&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{1}&0\\ \textcolor[rgb]{0,0.58,0}{północny}&0&0&\textcolor[rgb]{0,0.58,0}{1}&0\\ \textcolor[rgb]{0.55,0,0}{południowy}&0&0&0&\textcolor[rgb]{0.55,0,0}{1}\\ \textcolor[rgb]{0.55,0,0}{południowy}&0&0&0&\textcolor[rgb]{0.55,0,0}{1}\\ \textcolor[rgb]{0.55,0,0}{południowy}&0&0&0&\textcolor[rgb]{0.55,0,0}{1}\\ ...&...&...&...&...\\\hline \end{tabular}

Budując na podstawie zmiennych fikcyjnych, w modelu regresji wielorakiej, moglibyśmy chcieć sprawdzić jak zmienne te wpływają na pewną zmienną zależną np. $Y$ = wysokość zarobków (wyrażoną w tysiącach złotych). W wyniku takiej analizy dla każdej zmiennej fikcyjnej uzyskamy przykładowe współczynnik:

- dla płci istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=-0.5$ - co oznacza, że średnie zarobki kobiet są o pół tysiąca złoty niższe niż średnie zarobki w kraju; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie;

- dla regionu zachodniego istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=0.6$ - co oznacza, że średnie zarobki osób zamieszkujących na zachodzie kraju są o 0.6 tysiąca złoty wyższe niż średnie zarobki w kraju; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie;

- dla regionu wschodniego istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=-1$ - oznacza, że średnie zarobki osób zamieszkujących na wschodzie kraju są o tysiąc złoty niższe niż średnie zarobki w kraju; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie;

- dla regionu północnego istotny statystycznie współczynnik $b_{i}=0.4$ - co oznacza, że średnie zarobki osób zamieszkujących na północy są o 0.4 tysiąca wyższe niż średnie zarobki w kraju; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie;

- dla regionu południowego nieistotny statystycznie współczynnik $b_{i}=0.1$ - co oznacza, że średnie zarobki osób zamieszkujących na południu nie różnią się istotnie od średnich zarobków w kraju; przy założeniu że pozostałe zmienne w modelu pozostają na stałym poziomie.