Różnice w krzywych przeżycia

Hipotezy:

\begin{array}{ll} \mathcal{H}_0: & S_1(t)=S_2(t)=...=S_k(t),$\quad dla wszystkich $t,\\ \mathcal{H}_1: & $nie wszystkie $S_i(t)$ są sobie równe$. \end{array}

W obliczeniach wykorzystano statystykę chi-kwadrat postaci:

\begin{displaymath} \chi^2=U'V^{-1}U \end{displaymath} gdzie:

$U_i=\sum_{j=1}^{m}w_j(d_{ij}-e_{ij})$

$V$ - macierz kowariancji o wymiarach $(k-1)\times(k-1)$

gdzie:

diagonala: $\sum_{j=1}^{m}w_j^2\frac{n_{ij}(n_j-n_{ij})d_j(n_j-d_j)}{n^2_j(n_j-1)}$,

poza diagonalą (off diagonal): $\sum_{j=1}^{m}w_j^2\frac{n_{ij}n_{lj}d_j(n_j-d_j)}{n^2_j(n_j-1)}$

$m$ - liczba momentów czasowych, w których nastąpiło niepożądane zdarzenie (zgon),

$d_j=\sum_{i=1}^k d_{ij}$ - obserwowana liczba niepożądanych zdarzeń (zgonów) w $j$-tym momencie czasowym,

$d_{ij}$ - obserwowana liczba niepożądanych zdarzeń (zgonów) w $i$-tej grupie w $j$-tym momencie czasowym,

$e_{ij}=\frac{n_{ij}d_j}{n_j}$ - oczekiwana liczba niepożądanych zdarzeń (zgonów) w $i$-tej grupie w $j$-tym momencie czasowym,

$n_j=\sum_{i=1}^k n_{ij}$ - liczba narażonych w $j$-tym momencie czasowym.

Statystyka ta ma asymptotycznie (dla dużych liczności oczekiwanych) rozkład chi-kwadrat z $df=k-1$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Iloraz Hazardów

W teście Log-rank dla każdej grupy podawane są obserwowane wartości niepożądanych zdarzeń (zgonów) $O_i=\sum_{j=1}^m d_{ij}$ oraz odpowiednie wartości oczekiwane $E_i=\sum_{j=1}^m e_{ij}$.

Miarą opisującą wielkość obserwowanej różnicy między parą krzywych przeżycia jest Iloraz Hazardów (ang. Hazard Ratio - $HR$).

\begin{displaymath} HR= \frac{O_1/E_1}{O_2/E_2} \end{displaymath}

Jeśli Iloraz Hazardów jest większy niż 1 np. $HR=2$, to stopień narażenia na niepożądane zdarzenie w pierwszej grupie jest dwa razy większy niż w grupie drugiej. Odwrotna sytuacja jest gdy $HR$ jest mniejsze niż jeden. Natomiast przy $HR$ równym 1 obie grupy są narażone w tym samym stopniu.

Uwaga!

Przedział ufności dla $HR$ wyliczany jest w oparciu o błąd standardowy logarytmu $HR$ (Armitage i Berry 19941)).

Przykład c.d. (plik przeszczep.pqs)

1)
Armitage P., Berry G., (1994), Statistical Methods in Medical Research (3rd edition); Blackwell