Kalkulator funkcji dystrybucji

Pole pod krzywą (funkcją gęstości rozkładu) to prawdopodobieństwo $p$ wystąpienia wszystkich możliwych wartości badanej zmiennej losowej. Całe pole pod krzywą wynosi $p=1$. Gdy chcemy zbadać wielkość tylko części tego pola musimy podać wartość graniczną zwaną wartością krytyczną lub Statystyką. Korzystamy w tym celu z okna Kalkulatora funkcji dystrybucji. W oknie tym jest możliwe wyliczanie wartości pola pod krzywą (Wartość $p$) zadanego rozkładu na podstawie Statystyki, jak też wyznaczanie wartości Statystyki na podstawie Wartości$p$. Okno Kalkulatora funkcji dystrybucji uruchamiamy poprzez wybranie menu Statystyka→Kalkulatory→Kalkulator funkcji dystrybucji

Kalkulator funkcji dystrybucji

Pewien operator telefonii komórkowej przeprowadza szereg badań dotyczących wykorzystania przez klientów ilości przyznanych w abonamencie „darmowych minut”. Na podstawie 200 osobowej próby swoich klientów (w której rozkład wykorzystanych „darmowych minut” przyjmuje kształt rozkładu normalnego) wyznaczył wartość średnią $\overline{x}=161.15 min.$ i odchylenie standardowe $sd=13.03 min.$ Chcemy wyliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany przez nas klient wykorzystał:

  1. 150 minut lub mniej,
  2. więcej niż 150 minut,
  3. ilość minut z przedziału $[\overline{x}- sd,\overline{x}+ sd] =[148.12min.,174.18min.]$,
  4. ilość minut spoza przedziału $\overline{x}\pm sd$.

Uruchamiamy okno Kalkulatora funkcji dystrybucji, wybieramy rozkład Gaussa i wpisujemy średnią $\overline{x}=161.15min.$ i odchylenie st. $sd=13.03min.$ oraz zaznaczamy, że będziemy wyliczać Wartość $p$.

  1. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa) jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał 150 darmowych minut lub mniej, w polu Statystyka wpisujemy wartość 150. Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.

    \psset{xunit=1.2cm,yunit=8cm} \begin{pspicture}(-3.5,-.05)(4.2,0.4) \psline{-}(-4,0)(4,0) \psGauss[linecolor=blue, mue=0, sigma=1]{-4}{4}% \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{% \psGauss[linewidth=1pt,mue=0, sigma=1]{-4}{-0.85572}% \psline(-0.85572,0)(-4,0)} \rput(2.4,0.25){\textcolor{blue}{$N(161.15,13.03)$}} \rput(-0.85572,-0.05){\textcolor{blue}{150}} \end{pspicture}


    Uzyskana Wartość $p$ wynosi 0.193961.

    Uwaga!
    Podobne obliczenia możemy wykonać na podstawie rozkładu empirycznego. Wystarczy wówczas przy pomocy okna Tabele liczności wyznaczyć procent klientów wykorzystujących 150 minut lub mniej (patrz przykład (\ref{tab_licznosci}), plik: rozkład.pqs). W badanej 200 osobowej próbie klientów wykorzystujących 150 minut lub mniej jest 40, co stanowi 20\% próby a zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi $P=0.2$.

  2. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa) jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał więcej niż 150 darmowych minut, w polu Statystyka wpisujemy wartość 150 i zaznaczamy opcję 1- Wartość $p$. Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.

    \psset{xunit=1.2cm,yunit=8cm} \begin{pspicture}(-3.5,-.05)(4.2,0.4) \psline{-}(-4,0)(4,0) \psGauss[linecolor=blue, mue=0, sigma=1]{-4}{4}% \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{% \psline(-0.85572,0)(-0.85572,0)% \psGauss[linewidth=1pt,mue=0, sigma=1]{-0.85572}{4}% \psline(4,0)(-0.85572,0)} \rput(2.4,0.25){\textcolor{blue}{$N(161.15,13.03)$}} \rput(-0.85572,-0.05){\textcolor{blue}{150}} \end{pspicture}


    Uzyskana Wartość $p$ wynosi 0.806039.

  3. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa) jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał minuty z przedziału $[\overline{x}- sd,\overline{x}+ sd] =[148.12min.,174.18min.]$, w polu Statystyka wpisujemy jedną z końcowych wartości przedziału, a następnie zaznaczamy opcję dwustronnie. Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.

    \psset{xunit=1.2cm,yunit=8cm} \begin{pspicture}(-3.5,-.05)(4.2,0.4) \psline{-}(-4,0)(4,0) \psGauss[linecolor=blue, mue=0, sigma=1]{-4}{4}% \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{% \psline(-1,0)(-1,0)% \psGauss[linewidth=1pt,mue=0, sigma=1]{-1}{1}% \psline(1,0)(-1,0)} \rput(2.4,0.25){\textcolor{blue}{$N(161.15,13.03)$}} \rput(-1,-0.05){\textcolor{blue}{148.12}} \rput(1,-0.05){\textcolor{blue}{174.18}} \end{pspicture}


    Uzyskana Wartość $p$ wynosi 0.682689.

  4. By wyliczyć na podstawie rozkładu normalnego (Gaussa) jakie jest prawdopodobieństwo, że klient którego wylosujemy wykorzystał minuty spoza przedziału $[\overline{x}- sd,\overline{x}+ sd] =[148.12min.,174.18min.]$, w polu Statystyka wpisujemy jedną z końcowych wartości przedziału, a następnie zaznaczamy opcje: dwustronnie i 1-wartość $p$. Wybrane ustawienia potwierdzamy przyciskiem Oblicz.

    \psset{xunit=1.2cm,yunit=8cm} \begin{pspicture}(-3.5,-.05)(4.2,0.4) \psline{-}(-4,0)(4,0) \psGauss[linecolor=blue, mue=0, sigma=1]{-4}{4}% \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{% \psGauss[linewidth=1pt,mue=0, sigma=1]{-4}{-1}% \psline(-1,0)(-4,0)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{% \psline(1,0)(1,0)% \psGauss[linewidth=1pt,mue=0, sigma=1]{1}{4}% \psline(4,0)(1,0)} \rput(2.4,0.25){\textcolor{blue}{$N(161.15,13.03)$}}\rput(-1,-0.05){\textcolor{blue}{148.12}} \rput(1,-0.05){\textcolor{blue}{174.18}} \end{pspicture}


    Uzyskana Wartość $p$ wynosi 0.317311.

Proces uogólnienia wyników otrzymanych dla próby na całą populację dzieli się zasadniczo na 2 części: