Test T-kwadrat Hotellinga dla grup zależnych

Stosuje się w sytuacji gdy pomiarów badanych $k$ zmiennych dokonujemy dwukrotnie w różnych warunkach (przy czym zakładamy, że wariancje zmiennych w obu pomiarach są sobie bliskie). Jeśli pierwszy pomiar oznaczymy przez $X_1,X_2,...,X_k$ a drugi przez $Y_1,Y_2,...,Y_k$, wówczas weryfikujemy hipotezę że populacyjne średnie zmiennych z pierwszego pomiaru są takie same jak z pomiaru drugiego. Równoważnie gdy wyznaczymy różnice pomiędzy parami pomiarów $d_1, d_2, ..., d_k$, hipoteza wskaże, że średnie dla różnic w badanej populacji wynoszą 0.

Podstawowe warunki stosowania:

Hipotezy:

\begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & \mu_0=0,\\ \mathcal{H}_1: & $nie wszystkie $\mu_{j0} $ są równe zero,$ \end{array}

gdzie:

$\mu_0=(\mu_{01}, \mu_{02},..., \mu_{0k})$ - populacyjne średnie różnic pomiaru pierwszego i drugiego.

Statystyka testowa ma postać:

\begin{displaymath} F=\frac{n-k}{k(n-1)}T^2 \end{displaymath}

gdzie:

$n=n_1=n_2=...=n_k$ - liczności poszczególnych różnic w próbie,

$T^2 = n(\overline{x}-\overline{y})^TS^{-1}(\overline{x}-\overline{y})$ - pierwotna statystyka testowa Hotellinga o rozkładzie $\chi^2$ (zalecana dla prób o dużych licznościach),

$\overline{x}=(\overline{x}_1, \overline{x}_2,..., \overline{x}_k)$ - średnie zmiennych w próbie dla pierwszego pomiaru,

$\overline{y}=(\overline{y}_1, \overline{y}_2,..., \overline{y}_k)$ - średnie zmiennych w próbie dla drugiego pomiaru,

$S$- macierz kowariancji różnic pomiaru pierwszego i drugiego.

Statystyka ta podlega rozkładowi F Snedecora z $k$ i $n-k$ stopniami swobody.

Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość $p$ porównujemy z poziomem istotności $\alpha$:

\begin{array}{ccl} $ jeżeli $ p \le \alpha & \Longrightarrow & $ odrzucamy $ \mathcal{H}_0 $ przyjmując $ \mathcal{H}_1, \\ $ jeżeli $ p > \alpha & \Longrightarrow & $ nie ma podstaw, aby odrzucić $ \mathcal{H}_0. \\ \end{array}

Gdy po wykonanej analizie szukamy zmiennych, których dotyczą różnice, wyznaczamy jednoczesne przedziały ufności dla różnic średnich:

\begin{displaymath} \overline{x}_j-\overline{y}_j\pm\sqrt{\frac{k(n-1)}{n-k}F_{\alpha,df_1,df_2}}\cdot SE_{(diff)_j} \end{displaymath}

lub przedziały z poprawką Bonferroniego, w celu sprawdzenia czy znajduje się w nich wartość 0. Jeśli bowiem różnica może wynosić 0 to oznacza, że w rzeczywistości różnica pomiędzy badanymi wartościami może nie istnieć. Stosując tą metodę należy pamiętać, że wyznaczone przedziały nie uwzględniają powiązań pomiędzy zmiennymi towarzyszącymi (które uwzględnia test Hotellinga) a jedynie wielokrotne testowanie.

Szukając zmiennych, których dotyczą różnice możemy również zastosować podejście jednowymiarowe. Wykonujemy wówczas porównania testem t-Studenta dla grup zależnych oddzielnie dla poszczególnych zmiennych. Niestety, nie uwzględnimy tym samym wzajemnych powiązań, ale uzyskane wartości $p$ testu $t$-Studenta możemy skorygować w dziale Wielokrotne porównania.

Uwaga!

Zasada działania testu Hotellinga jest tożsama z budową „wielowymiarowej elipsy” przedziałów ufności wokół centrum wyznaczonego przez średnie różnic (patrz przykład interpretacji elipsy testu Hotellinga dla pojedynczej próby). Przez co, stosując analizę jednowymiarową (nie uwzględniającą wzajemnych powiązań między zmiennymi) często nie jesteśmy w stanie uzyskać tożsamych wyników.

Okno z ustawieniami opcji testu Hotellinga dla grup zależnych wywołujemy poprzez menu Statystyka→Testy parametryczne→T-kwadrat Hotellinga dla grup zależnych

Przykład (plik nadcisnienie.pqs)

W grupie osób chorujących na nadciśnienie badano wpływ zastosowanego leczenia na zmiany wskaźników takich jak: cholesterol we frakcji HDL i LDL, hemoglobinę (HGB), trójglicerydy (TG) oraz wartości ciśnienia skurczowego i rozkurczowego krwi. Pomiary od 44 pacjentów pobrano dwukrotnie (przed leczeniem i po 3 miesiącach stosowania leczenia). Następnie porównano uzyskane wyniki.

Hipotezy:

$ \begin{array}{cl} \mathcal{H}_0: & $średnie wartości badanych parametrów nie zmieniają się na skutek leczenia$\\ \mathcal{H}_1: & $w badanej populacji przynajmniej jeden parametr zmienia się na skutek$\\ & $leczenia$ \end{array} $

Porównując wartość $p=0.00024$ z poziomem istotności $\alpha=0.05$ stwierdzamy, że średnie wartości badanych parametrów nie pozostają na tym samym poziomie (ich różnica jest istotnie różna od 0). Przedziały ufności dla ciśnienia skurczowego oraz rozkurczowego znajdują się powyżej wartości 0, co świadczy o istotnym obniżeniu tych parametrów na skutek leczenia. Przedziały dla pozostałych parametrów zawierają wartość 0, a więc nie mamy dowodów na ich zmianę na skutek leczenia.

Podejście jednowymiarowe ze względu na swoją prostotę wykorzystywane jest najczęściej. Stosując to podejście wraz z korektą wielokrotnych porównań również uznamy, że różnice dotyczą jedynie wartości ciśnienia.

By wykonać korektę wartości $p$ testu t-Studenta należy przekopiować te wartości do jednej kolumny nowego arkusza danych i z menu Statystyka wybrać Korektę wielokrotnych porównań.