Miary położenia

Miary tendencji centralnej

Miary tendencji centralnej są to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Średnia arytmetyczna (ang. arithmetic mean) wyraża się wzorem: $\begin{displaymath} \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}, \end{displaymath}$

gdzie $x_i$ to kolejne wartości zmiennej a $n$ - liczność próby.

Średnia arytmetyczna jest stosowana dla skali interwałowej. Dla próby przyjmuje się ją oznaczać przez $\overline{x}$ a dla populacji przez $\mu$ .

Średnia przycięta (Trimmed mean)- wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna obliczona po usunięciu z próbki zadanego procentu najmniejszych i największych pomiarów np. gdy obcinamy 5% pomiarów, to oznacza, że obcinamy 2.5% największych i 2.5% najmniejszych wartości. Przy czym, gdy uzyskana na podstawie przeliczań liczba pomiarów przeznaczonych do usunięcia nie będzie liczbą całkowitą, wówczas jest ona zaokrąglana w dół do najbliższej całkowitej.

Średnia Winsora (Winsor mean) - wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna obliczona po zastąpieniu odpowiedniego odsetka skrajnych pomiarów wartością najmniejszą i największą jaka pozostała zmniejszonym zbiorze wartości. Jeśli zdecydujemy się na obliczanie średniej Winsora przycinając np. 5% pomiarów, to wówczas te odrzucone 5% zostanie zastąpione wartością najmniejszą i największą wyznaczoną z pozostałych 95% pomiarów. Podobnie jak dla średniej przycinanej, gdy na podstawie przeliczenia procentu wartości przeznaczonych do zamiany na liczbę pomiarów przeznaczonych do zamiany nie uzyskamy liczby całkowitej, wówczas zaokrąglamy w dół do najbliższej całkowitej.

Średnia geometryczna (ang. geometric mean) wyraża się wzorem: $\begin{displaymath} \overline{x}_G=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}. \end{displaymath}$ Średnia ta jest stosowana dla skali interwałowej, gdy zmienna ma rozkład logarytmiczno-normalny (logarytm zmiennej ma rozkład normalny).

Średnia harmoniczna (ang. harmonic mean) wyraża się wzorem: $\begin{displaymath} \overline{x}_H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}. \end{displaymath}$ Średnia ta jest stosowana dla skali interwałowej.

Mediana (ang. median)

W uporządkowanym zbiorze danych mediana jest wartością dzielącą ten zbiór na dwie równe części. Połowa wszystkich obserwacji znajduje się poniżej, a połowa powyżej mediany.

$\begin{pspicture}(0,0)(10,10.6) \pscoil[coilaspect=0, coilarm=.1cm, linewidth=0.5pt, coilwidth=.5cm, coilheight=1]{-}(0,4) \rput(0,4.2){min} \rput(0,-.2){max} \psline(-0.35,2)(.35,2) \rput(1.2,2){mediana} \rput(-0.6,2.8){50$\%$} \rput(-0.6,1.2){50$\%$} \end{pspicture}$

Mediana może być stosowana w skali interwałowej oraz porządkowej.

Moda (ang. mode)

Moda $-$ jest to wartość, która występuje najczęściej wśród uzyskanych pomiarów. Moda może być stosowana w każdej skali pomiarowej.

2022/01/23 17:58 · admin

Inne miary położenia

kwartyle (ang. quartiles), decyle (ang. deciles), centyle (ang. centiles)

$\begin{pspicture}(0,-.2)(4,4.4) \pscoil[coilaspect=0, coilarm=.1cm, linewidth=0.5pt, coilwidth=.5cm, coilheight=1]{-}(0,4) \rput(0,4.2){max} \rput(0,-.2){min} \psline(-0.35,3)(.35,3) \psline(-0.35,2)(.35,2) \psline(-0.35,1)(.35,1) \rput(2.9,3){$C_{75}$ = kwartyl górny = $Q_3$} \rput(2.4,2){$C_{50}$ = mediana = $Q_2$} \rput(2.9,1){$C_{25}$ = kwartyl dolny = $Q_1$} \rput(1,3.5){25$\%$} \rput(1,2.5){25$\%$} \rput(1,1.5){25$\%$} \rput(1,.5){25$\%$} \end{pspicture}$

Kwartyle ( $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ ) dzielą uporządkowany szereg na 4 równe części, decyle ( $D_i$ , $i=1,2,...,9$ ) na 10 równych części a centyle (percentyle: $C_i$ , $i=1,2,...,99$ ) na 100 równych części. Drugi kwartyl, piąty decyl i pięćdziesiąty centyl są równe medianie. Miary te mogą być stosowane w skali interwałowej oraz porządkowej.

2022/01/23 17:59 · admin