statpqpl:rozkladypl:ciaglepl

Ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkład normalny (ang. normal distribution) nazywany również rozkładem Gaussa lub krzywą dzwonową, jest jednym z najważniejszych rozkładów w statystyce. Ma interesujące własności matematyczne i bardzo często występuje w naturze. Oznacza się go zwykle symbolem: $N(\mu,\sigma)$ .

Funkcja gęstości jest zdefiniowana jako: $\begin{displaymath} f(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\bigg(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigg), \label{r_normalny_fun} \end{displaymath}$

gdzie:

$-\infty<x<+\infty$ ,

$\mu$ $-$ wartość oczekiwana populacji (której miarą jest średnia),

$\sigma$ $-$ odchylenie standardowe.

$\psset{xunit=1.25cm,yunit=8cm} \begin{pspicture}(-3.5,-.1)(4.2,0.9) \psaxes[Dy=0.1]{->}(0,0)(-4.5,0)(5,0.9) \uput[-90](5,0){x}\uput[0](0,0.85){y} \psGauss[linecolor=red, linewidth=2pt, mue=0, sigma=1]{-4}{4}% \rput(1.5,0.27){\textcolor{red}{$N(0,1)$}} \psGauss[linecolor=blue, linestyle=dotted, mue=1, sigma=1]{-4}{4}% \rput(2.6,0.25){\textcolor{blue}{$N(1,1)$}} \psGauss[linecolor=green,linestyle=dashed, mue=0, sigma=0.5]{-4}{4}% \rput(1.1,0.6){\textcolor{green}{$N(0,4)$}} \end{pspicture}$

Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym względem prostej prostopadłej do osi odciętych i przechodzącej przez punkt wyznaczający średnią, modę oraz medianę.

Rozkład normalny o średniej $\mu=0$ i $\sigma=1$ ( $N(0,1)$ ), to tzw. rozkład normalny standaryzowany.

Rozkład t-Studenta (ang. t-Student distribution) ma kształt podobny do standaryzowanego rozkładu normalnego lecz ma dłuższe „ogony”. Wraz ze wzrostem liczby stopni swobody $df$ (ang. degree of freedom) kształt rozkładu t-Studenta przybliża się do kształtu rozkładu normalnego.

Funkcja gęstości jest zdefiniowana jako: $\begin{displaymath} f(x,df)=\frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\Gamma(\frac{df}{2})\sqrt{df\pi}}\left(1+\frac{x^2}{df}\right)^{-\frac{df+1}{2}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$-\infty<x<+\infty$ ,

$df$ $-$ stopnie swobody (liczność próby pomniejszona o liczbę ograniczeń w określonych obliczeniach),

$\Gamma$ to funkcja Gamma.

$\psset{xunit=1.25cm,yunit=10cm} \begin{pspicture}(-5,-0.1)(5,.5) \psaxes[Dy=0.1]{->}(0,0)(-4.5,0)(5,0.5) \uput[-90](5,0){x}\uput[0](0,0.45){y} \psGauss[linecolor=red, linewidth=2pt, mue=0, sigma=1]{-4}{4}% \rput(1.6,0.25){\textcolor{red}{$N(0,1)$}} \psTDist[linecolor=blue,linestyle=dotted,nue=1]{-4}{4} \rput(2.5,0.2){\textcolor{blue}{$T(df=1)$}} \psTDist[linecolor=green,linestyle=dashed,nue=4]{-4}{4} \rput(3,0.15){\textcolor{green}{$T(df=4)$}} \end{pspicture}$

Rozkład $\chi^2$ (ang. Chi-square distribution), jest rozkładem prawoskośnym o kształcie zależnym od liczby stopni swobody $df$ . Wraz ze wzrostem liczby stopni swobody kształt rozkładu $\chi^2$ przybliża się do kształtu rozkładu normalnego.

Funkcja gęstości jest zdefiniowana jako: $\begin{displaymath} f(x,df)=\frac{1}{2^{\frac{df}{2}}\Gamma{\frac{df}{2}}}x^{\frac{df}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, \end{displaymath}$

gdzie:

$x>0$ ,

$df$ $-$ stopnie swobody (liczność próby pomniejszona o liczbę ograniczeń w określonych obliczeniach),

$\Gamma$ to funkcja Gamma.

$\psset{xunit=1.2cm,yunit=10cm,plotpoints=200} \begin{pspicture*}(-0.75,-0.1)(9.5,.65) \uput[-90](9.4,0){x}\uput[0](0,0.55){y} \psChiIIDist[linewidth=1pt,linecolor=red, nue=1,]{0.01}{9} \rput(1.8,0.4){\textcolor{red}{$\chi^2(df=1)$}} \psChiIIDist[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dotted, nue=5,]{0.01}{9} \rput(4,0.2){\textcolor{blue}{$\chi^2(df=5)$}} \psChiIIDist[linewidth=1pt,linecolor=green,linestyle=dashed, nue=10,]{0.01}{9} \rput(8,0.15){\textcolor{green}{$\chi^2(df=10)$}} \psaxes[Dy=0.1]{->}(0,0)(9.5,.6) \end{pspicture*}$

Rozkład F Snedecora (ang. Fisher-Snedecor distribution), jest rozkładem o dłuższym prawym „ogonie” i kształcie zależnym od liczby stopni swobody $df_1$ i $df_2$ .

Funkcja gęstości jest zdefiniowana jako: $\begin{displaymath} F(x,df_1,df_2)=\frac{\sqrt{\frac{(df_1x)^{df_1}d_2^{df_2}}{(df_1x+df_2)^{df_1+df_2}}}}{xB\left(\frac{df_1}{2},\frac{df_2}{2}\right)}, \end{displaymath}$

gdzie:

$x>0$ ,

$df_1$ , $df_1$ $-$ stopnie swobody (przyjmuje się, że jeżeli $X$ i $Y$ są niezależne o rozkładzie $\chi^2$ z odpowiednio $df_1$ i $df_2$ stopniami swobody, to $F=\frac{X/df_1}{Y/df_2}$ ma rozkład F Snedecora $F(df_1,df_2)$ ),

$B$ to funkcja Beta.

$\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,plotpoints=100} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.07)(5.5,0.8) \psFDist[linecolor=green,linestyle=dashed]{0.1}{5} \rput(1,0.05){\textcolor{green}{$F(df_1=1,df_2=1)$}} \psFDist[linecolor=red,nue=3,mue=12]{0.01}{5} \rput(4,0.15){\textcolor{red}{$F(df_1=3,df_2=12)$}} \psFDist[linecolor=blue,linestyle=dotted,nue=12,mue=3]{0.01}{5} \rput(2,0.4){\textcolor{blue}{$F(df_1=12,df_2=3)$}} \psaxes[Dy=0.1]{->}(0,0)(5,0.75) \end{pspicture*}$